Pirâmide Regular: fórmulas, intuição, exemplos e exercícios
Elementos: \(V\) vértice, \(h\) altura, \(a\) aresta lateral, \(p\) apótema da pirâmide, \(m\) apótema da base, \(r\) raio circunscrito da base, \(b\) lado da base, \(O\) centro da base, \(M\) ponto médio do lado.
Chamamos de pirâmide regular aquela cuja base é um polígono regular (n lados iguais) e cujo vértice está
alinhado com o centro \(O\) da base. Ela é um dos principais corpos geométricos .
Veja também: cubo , paralelepípedo , esfera .
Relações geométricas fundamentais
Triângulo \(VOM\) (plano de simetria)
\(p^{2}=h^{2}+m^{2}\)
\(p\) é a distância do vértice ao ponto médio de um lado da base (apótema da pirâmide).
Triângulo \(VOA\) (até um vértice da base)
\(a^{2}=h^{2}+r^{2}\)
\(a\) é a aresta lateral (do vértice a um vértice da base).
Base regular (n lados) Perímetro \(P=n\,b\)
\(m=r\cos\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\)
\(b=2\,r\sin\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)=2\,m\tan\!\left(\dfrac{\pi}{n}\right)\)
Fórmulas de área e volume
Área da base \( \displaystyle A_b=\frac{P\,m}{2}=\frac{n\,b\,m}{2} \)
Área lateral \( \displaystyle A_\ell=\frac{P\,p}{2}=\frac{n\,b\,p}{2} \)
É a soma das áreas dos \(n\) triângulos isósceles laterais.
Área total \( \displaystyle A_t=A_b+A_\ell=\frac{P(m+p)}{2} \)
Volume \( \displaystyle V=\frac{1}{3}\,A_b\,h \)
Como resolver problemas passo a passo A partir de \(n\) e \(b\) : calcule \(P=n b\), \(m=\dfrac{b}{2\tan(\pi/n)}\), \(r=\dfrac{b}{2\sin(\pi/n)}\).Com \(h\) : encontre \(p=\sqrt{h^{2}+m^{2}}\) e \(a=\sqrt{h^{2}+r^{2}}\).Com \(p\) : recupere \(h=\sqrt{p^{2}-m^{2}}\).Calcule \(A_b,\ A_\ell,\ A_t\) e \(V\) com as fórmulas acima. Exemplos resolvidos (cada passo em linha) Exemplo 1 — Base hexagonal: \(n=6\), \(b=8\ \text{cm}\), \(h=12\ \text{cm}\). Calcule \(m,\ r,\ p,\ a,\ A_b,\ A_\ell,\ A_t,\ V\).
\(P=n b=6\cdot 8=48\ \text{cm}\)
\(m=\dfrac{b}{2\tan(\pi/6)}=\dfrac{8}{2\tan 30^\circ}=\dfrac{8}{1{,}154700}=6{,}928203\ \text{cm}\)
\(r=\dfrac{b}{2\sin(\pi/6)}=\dfrac{8}{1}=8\ \text{cm}\)
\(p=\sqrt{h^{2}+m^{2}}=\sqrt{12^{2}+6{,}928203^{2}}=\sqrt{144+48}=13{,}856406\ \text{cm}\)
\(a=\sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{144+64}=14{,}422205\ \text{cm}\)
\(A_b=\dfrac{P m}{2}=\dfrac{48\cdot 6{,}928203}{2}=166{,}276878\ \text{cm}^{2}\)
\(A_\ell=\dfrac{P p}{2}=\dfrac{48\cdot 13{,}856406}{2}=332{,}553755\ \text{cm}^{2}\)
\(A_t=A_b+A_\ell=498{,}830633\ \text{cm}^{2}\)
\(V=\dfrac{1}{3}A_b h=\dfrac{1}{3}\cdot 166{,}276878\cdot 12=665{,}107512\ \text{cm}^{3}\)
Exemplo 2 — Dados \(r\) e \(p\) (pentágono regular): \(n=5\), \(r=10\ \text{cm}\), \(p=15\ \text{cm}\).
\(b=2r\sin(\pi/5)=20\sin 36^\circ=11{,}755705\ \text{cm}\)
\(m=r\cos(\pi/5)=10\cos 36^\circ=8{,}090170\ \text{cm}\)
\(h=\sqrt{p^{2}-m^{2}}=\sqrt{225-65{,}450850}=12{,}628\ \text{cm}\)
\(P=n b=5\cdot 11{,}755705=58{,}778525\ \text{cm}\)
\(A_b=\dfrac{P m}{2}=\dfrac{58{,}778525\cdot 8{,}090170}{2}=237{,}764129\ \text{cm}^{2}\)
\(A_\ell=\dfrac{P p}{2}=\dfrac{58{,}778525\cdot 15}{2}=440{,}838939\ \text{cm}^{2}\)
\(V=\dfrac{1}{3}A_b h=\dfrac{1}{3}\cdot 237{,}764129\cdot 12{,}628\approx 1{,}000{,}6\ \text{cm}^{3}\)
Exemplo 3 — Base quadrada conhecida e apótema da pirâmide: \(n=4\), \(b=9\ \text{cm}\), \(p=10\ \text{cm}\).
\(m=\dfrac{b}{2}=4{,}5\ \text{cm}\)
\(h=\sqrt{p^{2}-m^{2}}=\sqrt{100-20{,}25}=8{,}933\ \text{cm}\)
\(r=\dfrac{b}{\sqrt{2}}=6{,}364\ \text{cm}\)
\(a=\sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{79{,}75+40{,}5}=10{,}966\ \text{cm}\)
\(P=4b=36\ \text{cm}\)
\(A_b=\dfrac{P m}{2}=\dfrac{36\cdot 4{,}5}{2}=81\ \text{cm}^{2}\)
\(A_\ell=\dfrac{P p}{2}=\dfrac{36\cdot 10}{2}=180\ \text{cm}^{2}\)
\(A_t=81+180=261\ \text{cm}^{2}\)
\(V=\dfrac{1}{3}\cdot 81\cdot 8{,}933=241{,}191\ \text{cm}^{3}\)
Exercícios (múltipla escolha, com solução no abre/fecha) 1) Pirâmide de base triangular equilátera \((n=3)\) com lado \(b=6\ \text{cm}\) e altura \(h=10\ \text{cm}\). O volume é (aprox.):
\(48{,}0\ \text{cm}^{3}\) \(52{,}0\ \text{cm}^{3}\) \(56{,}0\ \text{cm}^{3}\) \(60{,}0\ \text{cm}^{3}\) Ver solução \(m=\dfrac{b}{2\tan(\pi/3)}=\dfrac{6}{2\sqrt{3}}=1{,}732\)
\(P=3b=18\)
\(A_b=\dfrac{P m}{2}=9\cdot 1{,}732=15{,}588\)
\(V=\dfrac{1}{3}A_b h=\dfrac{1}{3}\cdot 15{,}588\cdot 10=51{,}96\approx \boxed{52{,}0}\)
Resposta: B.
2) Base pentagonal \((n=5)\) com lado \(b=8\ \text{cm}\) e apótema da pirâmide \(p=14\ \text{cm}\). A altura \(h\) vale (aprox.):
\(11{,}5\ \text{cm}\) \(12{,}0\ \text{cm}\) \(12{,}9\ \text{cm}\) \(13{,}5\ \text{cm}\) Ver solução \(m=\dfrac{b}{2\tan(\pi/5)}=\dfrac{8}{2\tan36^\circ}=5{,}508\)
\(h=\sqrt{p^{2}-m^{2}}=\sqrt{14^{2}-5{,}508^{2}}=12{,}87\ \text{cm}\)
Resposta: C.
3) Base quadrada de lado \(b=12\ \text{cm}\) e altura \(h=10\ \text{cm}\).
A área total \(A_t\) é (aprox.):
\(420\ \text{cm}^{2}\) \(424\ \text{cm}^{2}\) \(428\ \text{cm}^{2}\) \(432\ \text{cm}^{2}\) Ver solução \(m=b/2=6\Rightarrow p=\sqrt{10^{2}+6^{2}}=\sqrt{136}=11{,}662\)
\(P=48,\ A_\ell=\dfrac{P p}{2}=24\cdot 11{,}662=279{,}886\)
\(A_b=\dfrac{P m}{2}=48\cdot 6/2=144\)
\(A_t\approx 279{,}886+144= \boxed{423{,}886\approx 424}\)
Resposta: B.
4) Na base hexagonal regular , quando \(b=r\) (lado igual ao raio circunscrito) o número de lados é:
\(n=4\) \(n=5\) \(n=6\) \(n=8\) Ver solução \(b=2r\sin(\pi/n)=r\Rightarrow \sin(\pi/n)=\tfrac12\Rightarrow \pi/n=30^\circ\Rightarrow \boxed{n=6}\)
Resposta: C.
5) Base octogonal \((n=8)\) com \(b=6\ \text{cm}\) e \(h=15\ \text{cm}\). O volume é (aprox.):
\(812\ \text{cm}^{3}\) \(842\ \text{cm}^{3}\) \(869\ \text{cm}^{3}\) \(905\ \text{cm}^{3}\) Ver solução \(m=\dfrac{b}{2\tan(\pi/8)}=\dfrac{6}{2\tan 22{,}5^\circ}=7{,}2426\)
\(P=8b=48\Rightarrow A_b=\dfrac{P m}{2}=24\cdot 7{,}2426=173{,}823\)
\(V=\dfrac{1}{3}A_b h=\dfrac{1}{3}\cdot 173{,}823\cdot 15=\boxed{869\ \text{cm}^{3}}\)
Resposta: C.
6) Para uma pirâmide com raio da base \(r=9\ \text{cm}\) e altura \(h=12\ \text{cm}\), a aresta lateral \(a\) vale:
\(14\ \text{cm}\) \(15\ \text{cm}\) \(16\ \text{cm}\) \(18\ \text{cm}\) Ver solução \(a=\sqrt{h^{2}+r^{2}}=\sqrt{12^{2}+9^{2}}=\sqrt{225}=\boxed{15\ \text{cm}}\)
Resposta: B.
7) Base triangular com \(b=10\ \text{cm}\), \(p=13\ \text{cm}\). A área lateral \(A_\ell\) é:
\(165\ \text{cm}^{2}\) \(180\ \text{cm}^{2}\) \(195\ \text{cm}^{2}\) \(210\ \text{cm}^{2}\) Ver solução \(P=3b=30\Rightarrow A_\ell=\dfrac{P p}{2}=\dfrac{30\cdot 13}{2}=\boxed{195}\)
Resposta: C.
8) Se \(A_\ell=A_b\) numa pirâmide regular (mesmo perímetro \(P\)), então:
\(p=2m\) \(p=m\) \(p=\dfrac{m}{2}\) \(p=\sqrt{2}\,m\) Ver solução \(\dfrac{P p}{2}=\dfrac{P m}{2}\Rightarrow \boxed{p=m}\)
Resposta: B.
9) Uma pirâmide de base quadrada tem lateral \(A_\ell=260\ \text{cm}^{2}\) e lado \(b=10\ \text{cm}\). O apótema da pirâmide \(p\) vale:
\(11\ \text{cm}\) \(12\ \text{cm}\) \(13\ \text{cm}\) \(14\ \text{cm}\) Ver solução \(P=4b=40\Rightarrow A_\ell=\dfrac{P p}{2}=20p=260\Rightarrow \boxed{p=13\ \text{cm}}\)
Resposta: C.
10) Para uma pirâmide de base hexagonal , \(r=8\ \text{cm}\) e \(p=14\ \text{cm}\). Calcule \(h\) (aprox.).
\(11{,}0\ \text{cm}\) \(12{,}0\ \text{cm}\) \(13{,}0\ \text{cm}\) \(14{,}0\ \text{cm}\) Ver solução Em hexágono, \(m=r\cos 30^\circ=8\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}=6{,}928\)
\(h=\sqrt{p^{2}-m^{2}}=\sqrt{14^{2}-6{,}928^{2}}=\sqrt{196-48}= \boxed{12{,}0\ \text{cm}}\)
Resposta: B.
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