Pirâmide Regular: fórmulas, intuição, exemplos e exercícios

Chamamos de pirâmide regular aquela cuja base é um polígono regular (n lados iguais) e cujo vértice está alinhado com o centro \(O\) da base. Ela é um dos principais corpos geométricos. Veja também: cubo, paralelepípedo, esfera.

Relações geométricas fundamentais

Fórmulas de área e volume

Como resolver problemas passo a passo

1. A partir de \(n\) e \(b\): calcule \(P=n b\), \(m=\dfrac{b}{2\tan(\pi/n)}\), \(r=\dfrac{b}{2\sin(\pi/n)}\).
2. Com \(h\): encontre \(p=\sqrt{h^{2}+m^{2}}\) e \(a=\sqrt{h^{2}+r^{2}}\).
3. Com \(p\): recupere \(h=\sqrt{p^{2}-m^{2}}\).
4. Calcule \(A_b,\ A_\ell,\ A_t\) e \(V\) com as fórmulas acima.

Exemplos resolvidos (cada passo em linha)

Exemplo 1 — Base hexagonal: \(n=6\), \(b=8\ \text{cm}\), \(h=12\ \text{cm}\). Calcule \(m,\ r,\ p,\ a,\ A_b,\ A_\ell,\ A_t,\ V\).

Exemplo 2 — Dados \(r\) e \(p\) (pentágono regular): \(n=5\), \(r=10\ \text{cm}\), \(p=15\ \text{cm}\).

Exemplo 3 — Base quadrada conhecida e apótema da pirâmide: \(n=4\), \(b=9\ \text{cm}\), \(p=10\ \text{cm}\).

Exercícios (múltipla escolha, com solução no abre/fecha)

1) Pirâmide de base triangular equilátera \((n=3)\) com lado \(b=6\ \text{cm}\) e altura \(h=10\ \text{cm}\). O volume é (aprox.):

1. \(48{,}0\ \text{cm}^{3}\)
2. \(52{,}0\ \text{cm}^{3}\)
3. \(56{,}0\ \text{cm}^{3}\)
4. \(60{,}0\ \text{cm}^{3}\)

2) Base pentagonal \((n=5)\) com lado \(b=8\ \text{cm}\) e apótema da pirâmide \(p=14\ \text{cm}\). A altura \(h\) vale (aprox.):

1. \(11{,}5\ \text{cm}\)
2. \(12{,}0\ \text{cm}\)
3. \(12{,}9\ \text{cm}\)
4. \(13{,}5\ \text{cm}\)

3) Base quadrada de lado \(b=12\ \text{cm}\) e altura \(h=10\ \text{cm}\). A área total \(A_t\) é (aprox.):

1. \(420\ \text{cm}^{2}\)
2. \(424\ \text{cm}^{2}\)
3. \(428\ \text{cm}^{2}\)
4. \(432\ \text{cm}^{2}\)

4) Na base hexagonal regular, quando \(b=r\) (lado igual ao raio circunscrito) o número de lados é:

1. \(n=4\)
2. \(n=5\)
3. \(n=6\)
4. \(n=8\)

5) Base octogonal \((n=8)\) com \(b=6\ \text{cm}\) e \(h=15\ \text{cm}\). O volume é (aprox.):

1. \(812\ \text{cm}^{3}\)
2. \(842\ \text{cm}^{3}\)
3. \(869\ \text{cm}^{3}\)
4. \(905\ \text{cm}^{3}\)

6) Para uma pirâmide com raio da base \(r=9\ \text{cm}\) e altura \(h=12\ \text{cm}\), a aresta lateral \(a\) vale:

1. \(14\ \text{cm}\)
2. \(15\ \text{cm}\)
3. \(16\ \text{cm}\)
4. \(18\ \text{cm}\)

7) Base triangular com \(b=10\ \text{cm}\), \(p=13\ \text{cm}\). A área lateral \(A_\ell\) é:

1. \(165\ \text{cm}^{2}\)
2. \(180\ \text{cm}^{2}\)
3. \(195\ \text{cm}^{2}\)
4. \(210\ \text{cm}^{2}\)

8) Se \(A_\ell=A_b\) numa pirâmide regular (mesmo perímetro \(P\)), então:

1. \(p=2m\)
2. \(p=m\)
3. \(p=\dfrac{m}{2}\)
4. \(p=\sqrt{2}\,m\)

9) Uma pirâmide de base quadrada tem lateral \(A_\ell=260\ \text{cm}^{2}\) e lado \(b=10\ \text{cm}\). O apótema da pirâmide \(p\) vale:

1. \(11\ \text{cm}\)
2. \(12\ \text{cm}\)
3. \(13\ \text{cm}\)
4. \(14\ \text{cm}\)

10) Para uma pirâmide de base hexagonal, \(r=8\ \text{cm}\) e \(p=14\ \text{cm}\). Calcule \(h\) (aprox.).

1. \(11{,}0\ \text{cm}\)
2. \(12{,}0\ \text{cm}\)
3. \(13{,}0\ \text{cm}\)
4. \(14{,}0\ \text{cm}\)

Leituras relacionadas

• Corpos redondos — panorama (cilindro, cone, esfera, pirâmide e mais).
• Cubo e Paralelepípedo — poliedros para comparação.
• Esfera — área, volume e aplicações.