Produtos Notáveis: quais são e como aplicar as fórmulas?

Os produtos notáveis são expressões algébricas que aparecem com tanta frequência que vale a pena memorizá-las. Eles permitem simplificar cálculos e fatorar expressões de forma rápida e eficiente. Nesse artigo, você vai entender as principais fórmulas, aprender como aplicá-las com exemplos práticos e ainda resolver exercícios passo a passo.

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1. Binômio ao Quadrado

O binômio ao quadrado é um dos produtos notáveis mais conhecidos. Ele se baseia na seguinte fórmula:

$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$ $$ (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 $$

Exemplo 1:

Calcule $ (x + 3)^2 $.

$ (x + 3)^2 = x^2 + 2\cdot x \cdot 3 + 3^2 $
$ = x^2 + 6x + 9 $

2. Diferença de Quadrados

Essa identidade é muito útil na fatoração de polinômios:

$$ (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 $$

Exemplo 2:

Fatore $ 9x^2 – 16 $.

$ 9x^2 – 16 = (3x)^2 – 4^2 $
$ = (3x + 4)(3x – 4) $

3. Binômio ao Cubo

O cubo de um binômio é outra fórmula fundamental:

$$ (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ $$ (a – b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 $$

Exemplo 3:

Calcule $ (x – 2)^3 $.

$ (x – 2)^3 = x^3 – 3x^2(2) + 3x(2^2) – 2^3 $
$ = x^3 – 6x^2 + 12x – 8 $

4. Trinômio ao Quadrado

Quando temos três termos dentro do parêntese, a fórmula é:

$$ (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ac) $$

Exemplo 4:

Expanda $ (x + y + 1)^2 $.

$ (x + y + 1)^2 = x^2 + y^2 + 1^2 + 2(xy + x + y) $
$ = x^2 + y^2 + 1 + 2xy + 2x + 2y $

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5. Trinômio ao Cubo

O desenvolvimento é um pouco mais longo:

$$ (a + b + c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) $$

6. Binômio por Trinômio

Outra identidade importante é:

$$ (a + b)(a^2 – ab + b^2) = a^3 + b^3 $$ $$ (a – b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 – b^3 $$

7. Identidades de Legendre

Essas expressões são úteis em simplificações específicas:

$$ (a + b)^2 + (a – b)^2 = 2(a^2 + b^2) $$ $$ (a + b)^2 – (a – b)^2 = 4ab $$

8. Identidades Condicionais (quando $ a + b + c = 0 $)

$$ a^2 + b^2 + c^2 = -2(ab + bc + ac) $$ $$ a^3 + b^3 + c^3 = 3abc $$ $$ a^4 + b^4 + c^4 = 2(a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2) $$ $$ a^5 + b^5 + c^5 = -5abc(ab + bc + ac) $$

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Lista de Exercícios sobre Produtos Notáveis

Exercício 1

Expanda $ (2x + 5)^2 $.

$ (2x + 5)^2 = 4x^2 + 2(2x)(5) + 25 $
$ = 4x^2 + 20x + 25 $

Exercício 2

Fatore $ 49x^2 – 25y^2 $.

$ 49x^2 – 25y^2 = (7x + 5y)(7x – 5y) $

Exercício 3

Calcule $ (x – 3)^3 $.

$ (x – 3)^3 = x^3 – 9x^2 + 27x – 27 $

Conclusão

Os produtos notáveis são essenciais para resolver problemas de álgebra, fatoração e simplificação de expressões. Dominar essas fórmulas é um passo importante para quem se prepara para o ENEM, concursos públicos e vestibulares. Pratique bastante e veja como os cálculos se tornam muito mais rápidos e intuitivos.

FAQ — Perguntas Frequentes

O que são produtos notáveis na matemática?

São fórmulas algébricas que representam multiplicações de expressões polinomiais frequentemente usadas, como binômio ao quadrado e diferença de quadrados.