PROFMAT 2018 – Questão 12 | Equações Polinomiais e Raízes
A soma dos quadrados das raízes da equação \(x^4 – 5x^2 + 6 = 0\) é igual a
(A) 0
(B) 5
(C) 10
(D) 20
(E) 26
Solução passo a passo:
Fazemos a substituição \(y = x^2\). Assim, a equação original se transforma em:
\[ y^2 – 5y + 6 = 0 \]
Resolvendo, obtemos as raízes \(y = 2\) e \(y = 3\).
Logo, as raízes da equação original serão:
\[ x = \pm\sqrt{2} \quad \text{e} \quad x = \pm\sqrt{3} \]
A soma dos quadrados dessas raízes será:
\[ (\sqrt{2})^2 + (-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 + (-\sqrt{3})^2 = 2 + 2 + 3 + 3 = 10 \]
Resposta: (C) 10
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