PROFMAT 2018 – Questão 20 | Probabilidade e Arranjos em Filas
Em uma fila de cinco pessoas, todas com alturas diferentes, qual a probabilidade de as duas pessoas mais altas ocuparem os dois primeiros lugares da fila?
(A) \(\frac{3}{10}\)
(B) \(\frac{1}{5}\)
(C) \(\frac{1}{10}\)
(D) \(\frac{1}{20}\)
(E) \(\frac{1}{60}\)
Solução passo a passo:
Seja \(A\) a pessoa mais alta e \(B\) a segunda mais alta. Com 5 pessoas, o número total de filas possíveis é:
\[ 5! = 120 \]
As duas pessoas mais altas podem ocupar as duas primeiras posições de duas formas:
- \(A\) na primeira posição e \(B\) na segunda.
- \(B\) na primeira posição e \(A\) na segunda.
Para cada uma dessas formas, as outras 3 pessoas podem se organizar de \(3! = 6\) maneiras.
Total de casos favoráveis:
\[ 2 \cdot 3! = 2 \cdot 6 = 12 \]
Logo, a probabilidade é:
\[ p = \frac{12}{120} = \frac{1}{10} \]
Resposta: (C) \(\frac{1}{10}\)
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