Em um triângulo retângulo \(ABC\), o lado \(AB\) excede em 8 unidades o lado \(BC\), que por sua vez mede uma unidade a mais que o lado \(AC\). A hipotenusa deste triângulo mede:
(A) 20
(B) 21
(C) 25
(D) 27
(E) 29
Solução passo a passo:
Sejam os lados do triângulo:
- \(AC = z\) (cateto menor),
- \(BC = z + 1\) (cateto maior),
- \(AB = z + 9\) (hipotenusa).
Aplicando o Teorema de Pitágoras:
\[ z^2 + (z+1)^2 = (z+9)^2 \]
Expandindo:
\[ z^2 + z^2 + 2z + 1 = z^2 + 18z + 81 \]
Organizando a equação:
\[ 2z^2 + 2z + 1 – z^2 – 18z – 81 = 0 \quad\Rightarrow\quad z^2 – 16z – 80 = 0 \]
Resolvendo a equação quadrática:
\[ z = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 + 4 \cdot 80}}{2} = \frac{16 \pm 24}{2} \]
Como \(z > 0\), temos \(z = 20\).
Logo, a hipotenusa mede:
\[ z + 9 = 29 \]
Resposta: (E) 29
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