Resposta correta: (E)

Na figura:

• \(B\) é o centro da esfera;
• \(C\) é o centro da base do cone;
• \(AE\) é uma geratriz e \(D\) é o ponto de tangência.

Pela semelhança dos triângulos \(ACE\) e \(ABD\), temos:

\[ \frac{r}{R} = \frac{\sqrt{h^2 + r^2}}{h – R} \]

Sabemos que \(h = 4R\). Substituindo:

\[ \frac{r}{R} = \frac{\sqrt{(4R)^2 + r^2}}{3R} = \frac{\sqrt{16R^2 + r^2}}{3R} \]

Elevando ao quadrado:

\[ 9r^2 = 16R^2 + r^2 \implies 8r^2 = 16R^2 \implies r^2 = 2 R^2 \]

Portanto:

\[ \frac{r}{R} = \sqrt{2} \]