PROFMAT 2023 – Questão 12 | Trigonometria e Equações
Os possíveis valores de \( m \in \mathbb{R} \), para que se tenha \[ \sin x = \frac{m-1}{m} \quad \text{e} \quad \cos x = \frac{m-2}{m}, \] para algum \( x \in \mathbb{R} \), são:
(A) 1 e 2
(B) 5 e 6
(C) 3 e 4
(D) 2 e 3
(E) 1 e 5
(B) 5 e 6
(C) 3 e 4
(D) 2 e 3
(E) 1 e 5
Resposta correta: (E) 1 e 5.
Para que os valores correspondam a seno e cosseno, devem satisfazer a identidade trigonométrica: \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] Substituindo: \[ \left(\frac{m-1}{m}\right)^2 + \left(\frac{m-2}{m}\right)^2 = 1 \]
Resolvendo: \[ (m-1)^2 + (m-2)^2 = m^2 \] \[ m^2 – 6m + 5 = 0 \] \[ m = 1 \quad \text{ou} \quad m = 5 \]
– Para \( m=1 \), temos \( \sin x = 0 \) e \( \cos x = -1 \). – Para \( m=5 \), temos \( \sin x = \frac{4}{5} \) e \( \cos x = \frac{3}{5} \).
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