PROFMAT 2023 – Questão 23 | Volume de Esfera e Cubo
Se uma esfera de raio \( r \) e um cubo de aresta \( a \) possuem o mesmo volume, então temos que \( \frac{r}{a} \) é igual a:
(A) \( \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}} \)
(B) \( \sqrt[3]{\frac{4\pi}{3}} \)
(C) \( \sqrt[3]{\frac{4}{3\pi}} \)
(D) \( \sqrt[3]{\frac{3\pi}{4}} \)
(E) \( \frac{4\pi}{3} \)
(B) \( \sqrt[3]{\frac{4\pi}{3}} \)
(C) \( \sqrt[3]{\frac{4}{3\pi}} \)
(D) \( \sqrt[3]{\frac{3\pi}{4}} \)
(E) \( \frac{4\pi}{3} \)
Resposta correta: (A) \( \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}} \)
O volume da esfera de raio \( r \) é dado por: \[ V_{\text{esfera}} = \frac{4\pi r^3}{3} \] e o volume do cubo de aresta \( a \) é: \[ V_{\text{cubo}} = a^3 \]
Como os volumes são iguais: \[ \frac{4\pi r^3}{3} = a^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{r^3}{a^3} = \frac{3}{4\pi} \]
Logo: \[ \frac{r}{a} = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}} \]
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