PROFMAT 2023 – Questão 5 | Soma de PG
Considere uma progressão geométrica cujo primeiro termo é 4 e a razão é 5. O menor valor de \( n \) para o qual a soma dos primeiros \( n \) termos da progressão é maior que 2600 é:
(A) 3
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
(B) 4
(C) 5
(D) 6
(E) 7
Resposta correta: (C) 5.
A soma dos \( n \) primeiros termos de uma PG é: \[ S_n = \frac{a_1(q^n – 1)}{q-1} \]
Pelo enunciado: \[ 4 \cdot \frac{5^n – 1}{5-1} > 2600 \] \[ 5^n – 1 > 2600 \] \[ 5^n > 2601 \]
Verificando potências de 5: \[ 5^4 = 625 < 2601,\quad 5^5 = 3125 > 2601 \] Logo, o menor valor de \( n \) é **5**.
Solução alternativa: Os primeiros cinco termos da PG: 4, 20, 100, 500, 2500. Soma dos quatro primeiros: 624 Soma dos cinco primeiros: 3124 > 2600 Portanto, \( n = 5 \).
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