Considere as seguintes afirmações:
I. A soma de dois números irracionais sempre dá um número irracional.
II. A soma de um número irracional com um racional sempre dá um número irracional.
III. O produto de dois números irracionais sempre dá um número irracional.
É correto o que se afirma em:
(B) III, apenas.
(C) I e II, apenas.
(D) I e III, apenas.
(E) I, II e III.
Resposta correta: (A) II, apenas.
Item I: Falso, pois \( \sqrt{2} \) e \( -\sqrt{2} \) são irracionais, mas \( \sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \) é racional.
Item III: Também falso, usando o mesmo contraexemplo: \( \sqrt{2} \cdot (-\sqrt{2}) = -2 \), que é racional.
Item II: Verdadeiro. Se \( x \) é irracional e \( y \) é racional, então \( x+y \) é irracional. Caso contrário, se \( x+y \) fosse racional, então \( x = (x+y)-y \) seria racional, o que é uma contradição.
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