PROFMAT 2024 – Questão 17 | Propriedades de Números Inteiros
Considere as seguintes afirmações sobre um número inteiro \( n \) qualquer:
- Se \( n^2 \) é par, então \( n \) é par.
- Se \( n^2 \) é divisível por 4, então \( n \) é divisível por 4.
- \( n^2 + 5n \) é par.
É correto o que se afirma em:
(A) I, apenas.
(B) II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
(B) II, apenas.
(C) I e III, apenas.
(D) II e III, apenas.
(E) I, II e III.
Resposta correta: (C) I e III, apenas.
Item I: verdadeiro.
Se \( n \) é ímpar, então: \[ n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 \] que é ímpar. Logo, se \( n^2 \) é par, \( n \) é par.
Item II: falso.
Contraexemplo: \( n = 2 \). \( n^2 = 4 \) é divisível por 4, mas \( n = 2 \) não é divisível por 4.
Item III: verdadeiro.
\[ n^2 + 5n = n(n+5) = n(n+1+4) = n(n+1) + 4n \] A soma de dois números consecutivos \( n(n+1) \) é par, e \( 4n \) também é par. A soma de dois pares é par.
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