PROFMAT 2024 – Questão 29 | Sistemas Lineares e Condições de Validade
A equação \( (m+n)x = 5x + 5m – n – 7 \) é verificada para mais de um valor de \( x \). Nessas condições, o valor de \( m^2 + n^2 \) é igual a:
(A) 13
(B) 24
(C) 25
(D) 28
(E) 36
(B) 24
(C) 25
(D) 28
(E) 36
Resposta correta: (A) 13.
Reescrevendo a equação: \[ (m+n)x – 5x = 5m – n – 7 \] ou \[ (m+n-5)x = 5m – n – 7 \]
Para que a equação seja verdadeira para mais de um valor de \(x\), o coeficiente de \(x\) e o termo independente devem ser simultaneamente nulos: \[ m+n-5 = 0 \quad \text{e} \quad 5m-n-7=0 \]
Resolvendo o sistema: \[ \begin{cases} m + n = 5 \\ 5m – n = 7 \end{cases} \] Somando as equações, temos: \[ 6m = 12 \Rightarrow m = 2 \] \[ n = 3 \]
Portanto: \[ m^2+n^2=2^2+3^2=4+9=13 \]
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