Progressão Geométrica (PG)

Progressão Geométrica (PG) — Definição, Termo Geral, Somatórios, Classificação e Exercícios

Progressão Geométrica (PG) — Guia Completo

Definição, características, termo geral, soma finita, soma infinita e classificação (crescente, decrescente, alternante), com exemplos e exercícios de múltipla escolha. Para o caso aditivo, compare com a Progressão Aritmética (PA).

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Definição e Características

Uma Progressão Geométrica (PG) é uma sequência em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando o anterior por uma constante chamada razão \((q)\).

\[ a_n = a_{n-1}\cdot q \quad (n\ge 2) \qquad\text{e}\qquad q=\frac{a_n}{a_{n-1}}\ (\text{com }a_{n-1}\ne 0). \]
  • Primeiro termo: \(a_1\)
  • Razão: \(q\) (fator multiplicativo constante)
  • Exemplos: \(3, 6, 12, 24,\dots\) (\(q=2\)); \(81, 27, 9, 3,\dots\) (\(q=\tfrac13\)); \(2,-6,18,-54,\dots\) (\(q=-3\)).

Exercícios do tópico

Ex. 1 — Identifique \(q\). Sequência: \(5,\ 10,\ 20,\ 40,\dots\). Qual é a razão?

Ver solução
\(\displaystyle q=\frac{10}{5}=2\) (verificando: \(20/10=2\), \(40/20=2\)).

Ex. 2 — É PG? Sequência: \(9,\ 6,\ 4,\ \tfrac{8}{3},\dots\). As razões sucessivas são constantes?

Ver solução
\(6/9=2/3,\ 4/6=2/3,\ (8/3)/4=2/3\Rightarrow\) sim, PG com \(q=\tfrac23\).

Termo Geral da PG

Para \(n\ge 1\), o \(n\)-ésimo termo de uma PG é dado por:

\[ \boxed{a_n = a_1\cdot q^{\,n-1}} \]
Exemplo: Em \(2,\ 6,\ 18,\ 54,\dots\) (\(a_1=2,\ q=3\)), \(a_{8}=2\cdot 3^{7}=4374\).

Exercícios do tópico

Ex. 1 — Calcule \(a_{12}\). \(a_1=5,\ q=2\).

Ver solução
\(a_{12}=5\cdot 2^{11}=5\cdot 2048=10240.\)

Ex. 2 — Encontre \(a_1\). Numa PG, \(a_6=81\) e \(q=3\). Determine \(a_1\).

Ver solução
\(a_6=a_1\cdot 3^{5}\Rightarrow a_1=\frac{81}{243}=\tfrac{1}{3}.\)

Soma dos n Primeiros Termos da PG

Se \(q\ne 1\), a soma \(S_n\) dos \(n\) primeiros termos é:

\[ \boxed{S_n=a_1\,\frac{q^n-1}{q-1}} \qquad\text{ou}\qquad \boxed{S_n=a_1\,\frac{1-q^n}{1-q}} \]

Para \(q=1\), a PG é constante e \(S_n=n\cdot a_1\).

Exemplo: PG de razão \(q=2\) com \(a_1=3\). \(S_6=3\cdot\frac{2^6-1}{2-1}=3(64-1)=189\).

Exercícios do tópico

Ex. 1 — Calcule \(S_{10}\). \(a_1=2,\ q=3\).

Ver solução
\(S_{10}=2\cdot\frac{3^{10}-1}{3-1}=2\cdot\frac{59049-1}{2}=59048.\)

Ex. 2 — PG constante. \(a_1=7,\ q=1\). Encontre \(S_{15}\).

Ver solução
\(S_{15}=15\cdot 7=105.\)

Soma Infinita de uma PG

Uma PG infinita converge (tem soma finita) somente quando o módulo da razão é menor que 1: \(|q|<1\).

\[ \text{Se }|q|<1,\quad \boxed{S_{\infty}=\frac{a_1}{1-q}}. \]
Exemplo: \(a_1=5\) e \(q=\tfrac12\). \(S_{\infty}=\dfrac{5}{1-\tfrac12}=10\).

Exercícios do tópico

Ex. 1 — Convergência. \(a_1=12\) e \(q=0{,}8\). Calcule \(S_\infty\).

Ver solução
\(|q|=0{,}8<1\Rightarrow S_\infty=\dfrac{12}{1-0{,}8}=60.\)

Ex. 2 — Divergência. \(a_1=4\) e \(q=-\tfrac{3}{2}\). Existe \(S_\infty\)?

Ver solução
\(|q|=1{,}5>1\Rightarrow\) a série diverge; não há soma infinita.

Classificação da PG

O comportamento de uma PG depende de \(a_1\) e, principalmente, da razão \(q\):

  • Crescente: \(a_1>0\) e \(q>1\); ou \(a_1<0\) e \(0<q<1\) (em valor absoluto, os termos aproximam-se de 0 mas “sobem” no eixo negativo).
  • Decrescente: \(a_1>0\) e \(0<q<1\); ou \(a_1<0\) e \(q>1\).
  • Alternante: \(q<0\). Os termos alternam de sinal; o módulo pode crescer (\(|q|>1\)) ou decrescer (\(|q|<1\)).
Exemplos rápidos:
  • \(a_1=3,\ q=2\) ⇒ \(3,6,12,\dots\) (crescente).
  • \(a_1=9,\ q=\tfrac13\) ⇒ \(9,3,1,\tfrac13,\dots\) (decrescente, converge para 0).
  • \(a_1=2,\ q=-\tfrac12\) ⇒ \(2,-1,0{,}5,-0{,}25,\dots\) (alternante, \(|q|<1\), converge para 0).

Exercícios de PG — Múltipla Escolha (progressão de dificuldade)

Clique numa alternativa para ver a correção e abrir a solução detalhada.

1) A sequência \(3,\,6,\,12,\,24,\dots\) é uma PG. A razão \(q\) é:
Ver solução
\(q=6/3=2\). Próximos termos: \(48,\,96\).
2) Numa PG com \(a_1=5\) e \(q=3\), o termo \(a_8\) vale:
Ver solução
\(a_8=5\cdot3^{7}=5\cdot2187=10\,935\).
3) Para \(a_1=2\) e \(q=2\), a soma \(S_{10}\) é:
Ver solução
\(S_{10}=2\cdot\frac{2^{10}-1}{2-1}=2(1024-1)=2046\).
4) Em \(a_1=81\) e \(q=\tfrac13\), o par correto \((a_{10},\,S_{10})\) é:
Ver solução
\(a_{10}=81\cdot(1/3)^9=1/243\). \(S_{10}=81\cdot\frac{1-(1/3)^{10}}{1-1/3}=\frac{29524}{243}\approx 121{,}50\).
5) Em \(a_n=4\cdot3^{\,n-1}\), o menor \(n\) com \(a_n>10\,000\) é:
Ver solução
\(3^{n-1}>2500\). Como \(3^7=2187\) e \(3^8=6561\), precisa \(n-1\ge 8\Rightarrow n=9\).
6) Para \(a_1=1,\ q=2\), qual \(n\) satisfaz \(S_n=2047\)?
Ver solução
\(S_n=2^{n}-1=2047\Rightarrow 2^n=2048=2^{11}\Rightarrow n=11\).
7) Capital \(R\$\,1000{,}00\) a \(5\%\)/mês. Valor no \(12^\circ\) mês (padrão \(a_n=a_1q^{n-1}\)) é aproximadamente:
Ver solução
\(a_{12}=1000\cdot1{,}05^{11}\approx 1\,710{,}34\). (*Se considerar 12 capitalizações completas: \(1\,795{,}86\).* )
8) Bem de R$ 50.000 com depreciação de \(20\%\)/ano. Valor após 5 anos:
Ver solução
\(V_5=50\,000\cdot 0{,}8^{5}=50\,000\cdot0{,}32768=16\,384{,}00\).
9) Para \(a_1=12\) e \(q=-\tfrac13\), o par \((a_5,\,S_\infty)\) correto é:
Ver solução
\(a_5=12(-\tfrac13)^4=\tfrac{4}{27}\). Como \(|q|<1\), \(S_\infty=\dfrac{12}{1-(-1/3)}=9\).
10) Três meios geométricos entre 2 e 162 são:
Ver solução
\(2\cdot q^4=162\Rightarrow q=3\). Meios: \(6,18,54\).
11) Sabendo \(a_3=48\) e \(a_7=3072\), admitindo \(q>0\), temos:
Ver solução
\(\frac{a_7}{a_3}=q^4=64\Rightarrow q=2\) (com \(q>0\)). \(a_3=a_1q^2\Rightarrow a_1=48/4=12\).
12) Em \(|q|<1\) com \(S_\infty=20\) e \(a_4=1{,}25\), os valores corretos são:
Ver solução
\(a_1=20(1-q)\) e \(a_4=a_1q^3=1{,}25\). Uma solução com \(|q|<1\): \(q=1/2,\ a_1=10\).
Gabarito: 1)A 2)C 3)A 4)B 5)B 6)B 7)B 8)B 9)A 10)B 11)A 12)A

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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.

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