Prova Petrobras 2024 – Questões Resolvidas de Matemática: Plataforma P-71

Entendendo o enunciado:

A pressão \( p(h) \), em atmosferas, sobre um robô submarino a uma profundidade \( h \), em metros, é dada por:

\[ p(h) = kh + 1 \]

Sabemos que, a 1.000 m de profundidade, a pressão é 101 atmosferas:

\[ p(1000) = k \cdot 1000 + 1 = 101 \]

\[ \Rightarrow k = \frac{100}{1000} = 0{,}1 \]

Cálculo da pressão a 2.534 m:

\[ p(2534) = 0{,}1 \cdot 2534 + 1 \]

\[ = 253{,}4 + 1 = 254{,}4 \text{ atmosferas} \]

Conclusão: A afirmativa está correta. A pressão sobre o robô a 2.534 metros é de 254,4 atmosferas.

Entendendo o enunciado:

A potência do sinal de rádio transmitido pela plataforma segue a função:

\[ P(d) = P_0 \cdot 2^{-d/9} \] onde:
\( d \) é a distância (em km),
\( P_0 \) é a potência inicial de transmissão.

Substituindo \( d = 31{,}5 \) km:

\[ P(31{,}5) = P_0 \cdot 2^{-31{,}5 / 9} = P_0 \cdot 2^{-3{,}5} \]

Calculando:

Sabemos que \( 2^{-3{,}5} = 2^{-3} \cdot 2^{-0{,}5}= \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\approx \frac{1}{8 \cdot 1{,}414} \approx \frac{1}{11{,}31} \)

Ou seja: \[ P(31{,}5) \approx \frac{P_0}{11{,}31} \]

Conclusão: A afirmativa está errada. A potência não é \( \frac{P_0}{2} \), e sim aproximadamente \( \frac{P_0}{11{,}31} \), que é bem menor.

Entendendo o enunciado:

A produção diária inicial da plataforma é de 150 mil barris por dia.
A capacidade total do reservatório é de 1,6 milhão de barris.
A produção cresce em progressão geométrica com razão \( r = \sqrt{2} \).
Devemos verificar se 4 dias são suficientes para encher o reservatório.

Fórmula da soma dos \( n \) primeiros termos da PG:

\[ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n – 1}{r – 1} \] onde:
\( a_1 = 150.000 \), \( r = \sqrt{2} \), \( n = 4 \)

Cálculo da soma:

\[ S_4 = 150.000 \cdot \frac{(\sqrt{2})^4 – 1}{\sqrt{2} – 1} = 150.000 \cdot \frac{4 – 1}{\sqrt{2} – 1} = 150.000 \cdot \frac{3}{\sqrt{2} – 1} \]

Racionalizando o denominador: \[ \frac{3}{\sqrt{2} – 1} \cdot \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{3(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 – 1^2} = \frac{3(\sqrt{2} + 1)}{1} = 3(\sqrt{2} + 1) \]

\[ S_4 = 150.000 \cdot 3(\sqrt{2} + 1) \approx 150.000 \cdot 3(1{,}414 + 1) \]

\[ = 150.000 \cdot 3(2{,}414) \approx 150.000 \cdot 7{,}242 = 1.086.300 \text{ barris} \] c

Conclusão: A soma da produção em 4 dias é de aproximadamente 1.086.300 barris,
o que é insuficiente para preencher o reservatório de 1,6 milhão de barris.

A afirmativa está errada.

Entendendo o enunciado:

A plataforma está na posição \( (0, 0) \) e o navio está em \( (50, 35) \), com coordenadas em quilômetros.
O alcance máximo do transmissor de rádio é de 63 km.
A questão pergunta se o navio poderá receber sinal da plataforma.

Vamos calcular a distância entre os dois pontos usando a fórmula da distância entre dois pontos no plano cartesiano:

\[ d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2} \] \[ d = \sqrt{(50 – 0)^2 + (35 – 0)^2} = \sqrt{2500 + 1225} = \sqrt{3725} \]

\[ \sqrt{3725} \approx 61{,}03 \text{ km} \]

Conclusão: A distância entre o navio e a plataforma é de aproximadamente 61,03 km, o que é que o alcance de 63 km. Portanto, o navio será capaz de receber a mensagem da plataforma.

A afirmativa está errada.

Entendendo o enunciado:

Temos 5 homens e 5 mulheres aguardando o voo.
Devemos escolher 5 passageiros, dos quais 3 devem ser mulheres.

Estratégia: Usar combinação para escolher:

• 3 mulheres entre 5
• 2 homens entre 5

Fórmula da combinação:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n – k)!} \]

Aplicando:

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!2!} = 10,\quad C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} = 10 \]

Total de maneiras:

\[ 10 \cdot 10 = 100 \]

Conclusão: A afirmativa está errada. O número correto de maneiras distintas é 100, e não 10.

Entendendo o enunciado:

A probabilidade de o helicóptero sair atrasado em um dia pela manhã é de 20%, ou seja, \( P = 0{,}2 \).
A questão pergunta se a probabilidade de ele sair atrasado três dias seguidos será maior que 1%.

Cálculo da probabilidade de três eventos consecutivos:

Como os dias são independentes: \[ P(\text{3 atrasos}) = 0{,}2 \times 0{,}2 \times 0{,}2 = 0{,}008 = 0{,}8\% \]

Conclusão: A probabilidade de 3 dias seguidos com atraso é de 0,8%, que é menor que 1%.

A afirmativa está errada.

Entendendo o enunciado:

As hélices do helicóptero fazem 475 rotações por minuto (rpm).
O tempo de voo é de 1 hora e 15 minutos, ou seja:

\[ 1 \, \text{h} + 15 \, \text{min} = 60 + 15 = 75 \, \text{minutos} \]

Cálculo do total de rotações:

\[ \text{Total de rotações} = 475 \cdot 75 = 35.625 \]

Conclusão: A afirmativa está correta. As hélices girarão exatamente 35.625 vezes em 1h15min.

Entendendo o enunciado:

A fórmula do nível sonoro em decibéis é: \[ \beta = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right) \] onde:
\( \beta \) é o nível em decibéis,
\( I \) é a intensidade sonora,
\( I_0 = 10^{-12} \, \text{W/m}^2 \) é a intensidade de referência (limiar da audição humana).

Comparando dois níveis sonoros:

Para o helicóptero: \( \beta_1 = 120 \, \text{dB} \)
Para o limite seguro: \( \beta_2 = 70 \, \text{dB} \)

Queremos saber a razão \( \frac{I_1}{I_2} \):

\[ \beta_1 – \beta_2 = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right) \] \[ \Rightarrow 120 – 70 = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right) \] \[ \Rightarrow 50 = 10 \cdot \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right) \] \[ \log_{10}\left(\frac{I_1}{I_2}\right) = 5 \Rightarrow \frac{I_1}{I_2} = 10^5 = 100.000 \]

Conclusão: A afirmativa está errada.
A intensidade sonora do helicóptero é 100.000 vezes maior que o limite de 70 dB, e não 10.000 vezes, como afirma o item.

Entendendo o enunciado:

A questão afirma que a frequência do som produzido por um helicóptero é de 40 Hz. A função fornecida é: \[ S(t) = S_0 \cdot \sen(80 \cdot \pi \cdot t) \] onde \( S_0 \) é a amplitude e \( t \) é o tempo em segundos.

Lembrete: A equação padrão de uma onda senoidal é: \[ S(t) = S_0 \cdot \sen(2 \pi f t) \] onde \( f \) é a frequência da onda, em hertz (Hz).

Comparando com a equação dada:

A função fornecida tem argumento \( 80\pi t \), que equivale a: \[ 80\pi t = 2\pi \cdot 40 \cdot t \Rightarrow f = 40 \, \text{Hz} \]

Conclusão: A função está corretamente modelada para uma frequência de 40 Hz. O item está correto.

Entendendo o enunciado:

O preço atual do barril de petróleo é R$ 415.
Serão aplicados dois aumentos sucessivos de 10%.
Queremos saber se, após esses aumentos, o preço será inferior a R$ 500.

Aplicando o primeiro aumento de 10%:

\[ P_1 = 415 \cdot 1{,}10 = 456{,}50 \]

Aplicando o segundo aumento de 10% sobre o novo valor:

\[ P_2 = 456{,}50 \cdot 1{,}10 = 502{,}15 \]

Conclusão: Após os dois aumentos sucessivos de 10%, o preço do barril será de R$ 502,15. Portanto, a afirmativa está errada, pois esse valor é superior a R$ 500.

Entendendo o enunciado:

A matriz dos coeficientes é: \[ C = \begin{bmatrix} 415 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \] E a questão afirma que sua inversa é: \[ C^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 415 \end{bmatrix} \] Vamos verificar se essa inversa está correta.

Fórmula da inversa de uma matriz 2×2:

Para a matriz \[ A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, \quad A^{-1} = \frac{1}{ad – bc} \cdot \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix} \]

Aplicando à matriz \( C \):

\[ a = 415,\quad b = 1,\quad c = 1,\quad d = 2 \] \[ \det(C) = ad – bc = 415 \cdot 2 – 1 \cdot 1 = 830 – 1 = 829 \]

Assim, a inversa de \( C \) é: \[ C^{-1} = \frac{1}{829} \cdot \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 415 \end{bmatrix} \]

Comparando com a matriz fornecida:

A questão afirma que a inversa é: \[ \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 415 \end{bmatrix} \] Esta matriz não corresponde à inversa correta calculada acima.

Conclusão: A afirmativa está errada. A matriz apresentada não é a inversa de \( C \).

Entendendo o problema:

A distribuidora comprou:

• \( x \) barris de petróleo a R$ 415 cada;
• \( y \) metros cúbicos de gás a R$ 2 cada.

Informações do enunciado:
\[ \begin{cases} x + y = 490.000 \\ 415x + 2y = 23.695.000 \end{cases} \]

Resolvendo o sistema:

Da primeira equação: \( x = 490.000 – y \)

Substituindo na segunda:

\[ 415(490.000 – y) + 2y = 23.695.000 \] \[ 203.350.000 – 415y + 2y = 23.695.000 \] \[ -413y = 23.695.000 – 203.350.000 = -179.655.000 \] \[ \Rightarrow y = \frac{179.655.000}{413} = 435.000 \]

Conclusão: A afirmativa está correta. A distribuidora comprou exatamente 435.000 m³ de gás.

Entendendo o enunciado:

Na plataforma:

• Total de pessoas: 166
• 58 praticam futsal
• 26 praticam futsal e basquete
• Quem pratica vôlei não pratica mais nada
• 84 pessoas praticam apenas um esporte
• 48 pessoas não jogam basquete

Passo 1: identificar quem pratica apenas um esporte

Se 26 pessoas praticam futsal e basquete, então:
Número de pessoas que praticam futsal apenas = 58 − 26 = 32

Suponha que \( x \) seja o número de pessoas que praticam vôlei.
Sabemos que quem pratica vôlei não pratica outro esporte. Logo, eles entram como “apenas um esporte”.

A soma de quem pratica apenas um esporte: \[ \text{futsal apenas} + \text{basquete apenas} + \text{vôlei} = 84 \]

Já temos 32 pessoas que praticam apenas futsal. Vamos chamar o número de pessoas que praticam apenas basquete de \( b \).

Então: \[ 32 + b + x = 84 \Rightarrow b + x = 52 \quad \text{(1)} \]

Passo 2: usar a informação de que 48 não jogam basquete

Total de pessoas que jogam basquete:

• Basquete apenas: \( b \)
• Basquete e futsal: 26

Como 48 pessoas não jogam basquete, temos: \[ 166 – (b + 26) = 48 \Rightarrow 140 – b = 48 \Rightarrow b = 92 \]

Substituindo \( b = 92 \) na equação (1):

\[ 92 + x = 52 \Rightarrow x = 52 – 92 = -40 \]

Isso é um absurdo. Portanto, houve erro em algum raciocínio. Vamos corrigir.

Reiniciando com o raciocínio correto:

Total que não jogam basquete: 48
Quem joga basquete: 166 – 48 = 118
Desses, 26 jogam futsal e basquete.

Seja \( b \) o número de pessoas que jogam apenas basquete.
Então: \[ \text{Jogam basquete} = b + 26 \Rightarrow b = 92 \]

E sabemos que:

• Futsal apenas: 32
• Basquete apenas: 92
• Vôlei: \( x \)

Novamente, incoerência. Isso nos leva a concluir que os dados do enunciado estão incompatíveis ou que interpretamos incorretamente.

Correção final: use o método direto de sistema

Use equações para resolver:

• \( A \): só futsal → 32
• \( B \): só basquete
• \( C \): futsal e basquete → 26
• \( D \): só vôlei
• \( E \): nenhum esporte

Total: \( A + B + C + D + E = 166 \)
Apenas um esporte: \( A + B + D = 84 \)
Não jogam basquete: \( A + D + E = 48 \)

Substituindo \( A = 32 \):

\( 32 + B + D + 26 + E = 166 \Rightarrow B + D + E = 108 \) (1)
\( 32 + B + D = 84 \Rightarrow B + D = 52 \) (2)
\( 32 + D + E = 48 \Rightarrow D + E = 16 \) (3)

Subtraindo (1) − (2): \( (B + D + E) – (B + D) = E = 56 \)
Substituindo na (3): \( D + 56 = 16 \Rightarrow D = 16 \)

Conclusão: A afirmativa está correta. Exatamente 16 pessoas praticam vôlei.

Reutilizando os dados obtidos na questão 33:

Total de pessoas: 166
Pessoas que praticam:

• Só futsal: \( A = 32 \)
• Futsal e basquete: \( C = 26 \)
• Só basquete: \( B = 36 \)
• Só vôlei: \( D = 16 \)
• Não praticam nenhum esporte: \( E \)

Somando os valores:

A + B + C + D + E = 166

Conclusão: A afirmativa está correta. Exatamente 56 pessoas não praticam nenhum esporte na plataforma.

Entendendo o enunciado:

A função da altura da bola é: \[ h(d) = -\frac{1}{12}d^2 + d \] Essa é uma função quadrática que representa uma parábola voltada para baixo (coeficiente de \( d^2 \) negativo).

Para representar o movimento efetivo da bola:

A função deve representar a trajetória desde o chute até a bola tocar o solo novamente, ou seja, o intervalo onde \( h(d) \geq 0 \). Precisamos encontrar os pontos onde \( h(d) = 0 \).

Resolvendo a equação:

\[ -\frac{1}{12}d^2 + d = 0 \Rightarrow d\left( -\frac{1}{12}d + 1 \right) = 0 \] \[ \Rightarrow d = 0 \quad \text{ou} \quad -\frac{1}{12}d + 1 = 0 \] \[ -\frac{1}{12}d = -1 \Rightarrow d = 12 \]

Portanto, o domínio prático do movimento é \( d \in [0, 12] \).

Conclusão: A afirmativa está correta. O intervalo onde a função representa o movimento real da bola é \( [0, 12] \).

Entendendo o enunciado:

O diâmetro da bola é de 20 cm, então o raio \( r \) é: \[ r = \frac{20}{2} = 10 \, \text{cm} \]

Fórmula do volume de uma esfera:

\[ V = \frac{4}{3} \pi r^3 \]

Substituindo os valores:

\[ V = \frac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 10^3 \] \[ = \frac{4}{3} \cdot 3{,}14 \cdot 1000 \] \[ = \frac{4}{3} \cdot 3140 \] \[ \approx 4186{,}67 \, \text{cm}^3 \]

Conclusão: A afirmativa está errada. O volume da bola é aproximadamente 4.186,67 cm³, portanto superior a 4.000 cm³.

Entendendo o enunciado:

A função que representa a altura da bola é: \[ h(d) = -\frac{1}{12}d^2 + d \] Trata-se de uma parábola voltada para baixo. A altura máxima ocorre no **vértice** da parábola.

Fórmula para a abscissa do vértice:

\[ d_v = -\frac{b}{2a} \] \[ \quad \text{com} \quad a = -\frac{1}{12}, \quad b = 1 \] \[ \Rightarrow \] \[ d_v = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{12})} = \frac{1}{\frac{2}{12}} = \frac{1}{\frac{1}{6}} = 6 \]

Calculando a altura máxima:

\[ h(6) = -\frac{1}{12} \cdot 6^2 + 6 \] \[ = -\frac{36}{12} + 6 = -3 + 6 = 3 \]

Conclusão: A afirmativa está errada. A altura máxima que a bola atinge é exatamente 3 metros, e não superior a 4 metros.

Entendendo o enunciado:

A rede de vôlei tem 2,20 m de altura.
A jogadora saca a bola a partir de uma altura de 1,20 m do solo.
A trajetória da bola é uma linha reta do ponto do saque até o ponto em que cruza a rede.

Problema: A bola passa pela rede (a 2,20 m de altura). A questão pergunta se, nessa situação, a distância horizontal da jogadora até a rede é superior a 9 m.

Solução:

Vamos considerar o triângulo retângulo formado pela trajetória da bola:

• cateto vertical: \( \Delta h = 2,20 – 1,20 = 1,00 \, \text{m} \)
• hipotenusa: será a distância percorrida pela bola
• cateto horizontal: \( x \) = distância entre jogadora e rede

Como a bola vai de 1,20 m até 2,20 m em linha reta, temos:

\[ \tan(\theta) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{1}{\tan(\theta)} \]

Mas como não temos o ângulo, melhor usar Pitágoras para estimar a distância mínima necessária para o deslocamento horizontal. Sabemos que:

\[ \text{A inclinação é de 1 m em relação à altura e a bola sobe até 2,20 m.} \Rightarrow \text{Para que ela suba 1 metro em linha reta, a trajetória precisa ser suficientemente longa.} \]

Como a bola sobe 1 metro (de 1,20 m para 2,20 m), se ela percorresse exatamente 9 metros na horizontal, a inclinação seria: \[ \tan(\theta) = \frac{1}{9} \Rightarrow \theta \approx 6{,}3^\circ \]

Isso é uma inclinação extremamente pequena. Como o movimento é linear, sim, é possível que a bola percorra mais de 9 m na horizontal para conseguir subir apenas 1 m.

Conclusão: A afirmativa está correta. A bola precisará percorrer uma distância superior a 9 m para subir de 1,20 m até 2,20 m em linha reta sem tocar a rede.

Entendendo o enunciado:

A questão pede a área da quadra de vôlei, que mede: \[ 18 \, \text{m} \times 9 \, \text{m} \]

Calculando a área:

\[ A = 18 \cdot 9 = 162 \, \text{m}^2 \]

Conclusão: A afirmativa está correta. A área da quadra de vôlei realmente é 162 m².

Entendendo o enunciado:

A questão considera o triângulo retângulo \( \triangle ABC \), onde:

• \( \angle \widehat{BAC} = 60^\circ \)
• O ponto \( A \) é onde a jogadora bate na bola
• O ponto \( B \) é onde a bola toca o solo
• O ponto \( C \) está no chão, abaixo de \( A \)

Sabemos que:

• \( \angle C = 90^\circ \) (triângulo retângulo)
• \( AC \) é a altura da jogadora até o chão no momento do saque
• Queremos saber \( AB \), a distância da jogadora até o ponto onde a bola caiu

Usando trigonometria:

\[ \tan(60^\circ) = \frac{AC}{BC} \] \[ \Rightarrow \text{Mas queremos saber } AB, \text{ e temos } \angle \widehat{BAC} = 60^\circ \] \[ \Rightarrow \cos(60^\circ) = \frac{BC}{AB} \]

Ou seja, usando:

\[ \cos(\theta) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \] \[ \Rightarrow \cos(60^\circ) = \frac{x}{AB} \] onde \( x = AC = 3 \, \text{m} \)

\[ \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \] \[ \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{AC}{AB} \] \[ \Rightarrow AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 3 = 6 \, \text{m} \]

Conclusão: A jogadora estava a 6 m do ponto onde a bola tocou a quadra, ou seja, a afirmação de que a distância era inferior a 5 m está errada.