Questão 34 – Equação Exponencial (UFPR)
Resolva a equação exponencial:
$$ 1^x + 5^x + 25^x = 3 $$
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🔎 Etapa 1 – Entendendo a estrutura da equação:
Sabemos que:
- \( 1^x = 1 \), para todo \( x \in \mathbb{R} \)
- \( 25^x = (5^2)^x = 5^{2x} \)
Logo, a equação pode ser reescrita como:
$$ 1 + 5^x + 5^{2x} = 3 $$
🔎 Etapa 2 – Substituição:
Seja \( y = 5^x \), então:
$$ 1 + y + y^2 = 3 $$
🔎 Etapa 3 – Resolvendo a equação quadrática:
$$ y^2 + y + 1 – 3 = 0 \Rightarrow y^2 + y – 2 = 0 $$
Aplicando Bhaskara:
$$ y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-2)}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} $$
$$ y = 1 \quad \text{ou} \quad y = -2 $$
Como \( y = 5^x \), e potências de base positiva nunca são negativas, descartamos \( y = -2 \).
🔎 Etapa 4 – Voltando para \( x \):
$$ 5^x = 1 \Rightarrow x = 0 $$
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \{0\}} \)
