Questão 37 – Equação Exponencial com Quadrática (ITA-SP)
Dê o conjunto verdade da equação exponencial:
$$ 3 \cdot 5^{x^2} + 3^{x^2 + 1} – 8 \cdot 3^{x^2} = 0 $$
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🔎 Etapa 1 – Substituindo \( y = 3^{x^2} \):
Sabemos que:
- \( 3^{x^2 + 1} = 3^{x^2} \cdot 3 = 3y \)
Logo a equação se reescreve como:
$$ 3 \cdot 5^{x^2} + 3y – 8y = 0 \Rightarrow 3 \cdot 5^{x^2} – 5y = 0 $$
🔎 Etapa 2 – Isolando os termos:
$$ 3 \cdot 5^{x^2} = 5y $$
Dividindo ambos os lados por 5:
$$ \frac{3}{5} \cdot 5^{x^2} = y $$
Mas como \( y = 3^{x^2} \), temos:
$$ \frac{3}{5} \cdot 5^{x^2} = 3^{x^2} $$
🔎 Etapa 3 – Passando tudo para um lado:
$$ \frac{3}{5} \cdot 5^{x^2} – 3^{x^2} = 0 $$
Multiplicando ambos os lados por 5:
$$ 3 \cdot 5^{x^2} = 5 \cdot 3^{x^2} $$
🔎 Etapa 4 – Testando valores inteiros:
- Para \( x = 1 \Rightarrow x^2 = 1 \)
- \( 3 \cdot 5^1 + 3^2 – 8 \cdot 3 = 15 + 9 – 24 = 0 \Rightarrow \text{Serve} \)
- Para \( x = -1 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow \text{Mesmo cálculo: também serve} \)
✅ Conclusão:
- \( \boxed{S = \{-1,\ 1\}} \)
