Seja a função \( f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} \), definida por:
$$ f(x) = 3^x $$
Determine os valores de \( x \in \mathbb{R} \) tais que:
$$ f(x + 1) + f(-x + 4) = 36 $$
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🔎 Etapa 1 – Substituindo a definição da função:
$$ f(x + 1) = 3^{x + 1}, \quad f(-x + 4) = 3^{-x + 4} $$
A equação fica:
$$ 3^{x + 1} + 3^{-x + 4} = 36 $$
🔎 Etapa 2 – Mudança de variável:
Seja \( y = 3^x \), então:
- \( 3^{x + 1} = 3 \cdot y \)
- \( 3^{-x + 4} = 3^4 \cdot \frac{1}{y} = 81 \cdot \frac{1}{y} \)
Substituindo na equação:
$$ 3y + \frac{81}{y} = 36 $$
🔎 Etapa 3 – Multiplicando por \( y \) para eliminar o denominador:
$$ 3y^2 + 81 = 36y $$
$$ 3y^2 – 36y + 81 = 0 $$
Dividindo tudo por 3:
$$ y^2 – 12y + 27 = 0 $$
🔎 Etapa 4 – Aplicando Bhaskara:
$$ \Delta = (-12)^2 – 4 \cdot 1 \cdot 27 = 144 – 108 = 36 $$
$$ y = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{12 \pm 6}{2} \Rightarrow y = 9 \ \text{ou} \ 3 $$
🔎 Etapa 5 – Voltando para \( x \):
- Se \( y = 3^x = 3 \Rightarrow x = 1 \)
- Se \( y = 3^x = 9 \Rightarrow x = 2 \)
✅ Conclusão:
- \( \boxed{x = 1 \ \text{ou} \ x = 2} \)
