Questão 42 – Inequações Exponenciais

🔎 Etapa 1 – Escrevendo as potências na mesma base:

\( \dfrac{1}{4} = 2^{-2} \), então a inequação fica:

$$ 2^{x^2 – 3x} \geq 2^{-2} $$

🔎 Etapa 2 – Mantendo a base positiva e maior que 1:

Como a base é \( 2 > 1 \), mantemos o sentido da desigualdade:

$$ x^2 – 3x \geq -2 $$

🔎 Etapa 3 – Resolvendo a inequação quadrática:

$$ x^2 – 3x + 2 \geq 0 $$

Resolvendo a equação associada:

\( x^2 – 3x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1 \ \text{ou} \ x = 2 \)

A parábola é voltada para cima (coeficiente positivo), então:

$$ x \leq 1 \quad \text{ou} \quad x \geq 2 $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq 1 \ \text{ou} \ x \geq 2 \}} \)

🔎 Etapa 1 – Reescrevendo as potências na mesma base:

\( \dfrac{1}{27} = 3^{-3} = \left( \dfrac{1}{3} \right)^3 \)

A inequação fica:

$$ \left( \dfrac{1}{3} \right)^{2x} < \left( \dfrac{1}{3} \right)^3 $$

🔎 Etapa 2 – Comparando expoentes:

Como \( 0 < \dfrac{1}{3} < 1 \), a função é decrescente. Então, ao comparar potências, **invertemos o sinal da desigualdade**:

$$ 2x > 3 \Rightarrow x > \dfrac{3}{2} $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > \dfrac{3}{2} \}} \)

🔎 Etapa 1 – Interpretando a base:

A base \( 0{,}2 \) é menor que 1 e maior que 0, ou seja, \( 0 < 0{,}2 < 1 \). A função exponencial é **decrescente** nesse intervalo.

Sabemos que qualquer número \( a \in (0,1) \) elevado a zero resulta em 1, e a potência diminui conforme o expoente cresce.

Logo: $$ (0{,}2)^{x – 2} > 1 \Rightarrow \text{isso só acontece quando o expoente for negativo.} $$

🔎 Etapa 2 – Determinando a condição:

$$ x – 2 < 0 \Rightarrow x < 2 $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < 2 \}} \)

🔎 Etapa 1 – Reescrevendo todas as potências na base 2:

• \( 4 = 2^2 \Rightarrow 4^{x – 1} = (2^2)^{x – 1} = 2^{2(x – 1)} \)
• \( \dfrac{1}{32} = 2^{-5} \)

A inequação fica:

$$ 2^{x + 1} \cdot 2^{2(x – 1)} \leq 2^{-5} $$

🔎 Etapa 2 – Aplicando propriedades das potências:

Somando os expoentes:

\( x + 1 + 2(x – 1) = x + 1 + 2x – 2 = 3x – 1 \)

Portanto, a inequação fica:

$$ 2^{3x – 1} \leq 2^{-5} $$

🔎 Etapa 3 – Comparando os expoentes (base > 1):

$$ 3x – 1 \leq -5 \Rightarrow 3x \leq -4 \Rightarrow x \leq -\dfrac{4}{3} $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \leq -\dfrac{4}{3} \}} \)

🔎 Etapa 1 – Reescrevendo tudo na mesma base:

• \( \dfrac{3}{2} \) permanece como está;
• \( \dfrac{9}{4} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 \)
• \( \dfrac{27}{8} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^3 \)

Substituindo:

$$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{x+1} \cdot \left[ \left( \dfrac{3}{2} \right)^2 \right]^{1+2x} > \left[ \left( \dfrac{3}{2} \right)^3 \right]^{4x+3} $$

🔎 Etapa 2 – Aplicando as propriedades de potências:

Lado esquerdo: $$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{x+1} \cdot \left( \dfrac{3}{2} \right)^{2(1+2x)} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{x+1 + 2 + 4x} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{5x + 3} $$

Lado direito: $$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{3(4x+3)} = \left( \dfrac{3}{2} \right)^{12x + 9} $$

A inequação fica:

$$ \left( \dfrac{3}{2} \right)^{5x + 3} > \left( \dfrac{3}{2} \right)^{12x + 9} $$

🔎 Etapa 3 – Comparando os expoentes (base > 1):

$$ 5x + 3 > 12x + 9 \Rightarrow -7x > 6 \Rightarrow x < -\dfrac{6}{7} $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{ x \in \mathbb{R} \mid x < -\dfrac{6}{7} \}} \)

🔎 Etapa 1 – Interpretando a base e o valor da desigualdade:

A base é \( \dfrac{1}{2} \), que está entre 0 e 1. Quando uma potência com base nesse intervalo é maior ou igual a 1, isso só acontece se o expoente for igual a zero.

\( \left( \dfrac{1}{2} \right)^a \geq 1 \Rightarrow a = 0 \)

Então, a inequação fica:

$$ x^2 – 4x + 3 = 0 $$

🔎 Etapa 2 – Resolvendo a equação do segundo grau:

$$ \Delta = (-4)^2 – 4(1)(3) = 16 – 12 = 4 $$

$$ x = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \Rightarrow x = 1 \ \text{ou} \ x = 3 $$

✅ Conclusão:

• Conjunto solução: \( \boxed{S = \{1, 3\}} \)