Conteúdo: Propriedades dos Radicais – Comparação e Classificação de Números
Questão 8. (UFRGS-RS) Dados \( a \) e \( b \) números reais positivos, considere as afirmações abaixo:
- I. Se \( a > b \), então \( \sqrt{a} > \sqrt{b} \).
- II. Para quaisquer \( a \) e \( b \), \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) é um número irracional.
- III. Para quaisquer \( a \) e \( b \), \( \sqrt{a} + \sqrt{b} > 1 \).
Quais estão corretas?
Alternativas:
- a) Apenas I
- b) Apenas III
- c) Apenas I e II
- d) Apenas II e III
- e) I, II e III
📝 Ver Solução Passo a Passo
🔎 Análise das afirmações:
I. Correta ✅
Como a função \( f(x) = \sqrt{x} \) é estritamente crescente no conjunto dos reais positivos, se \( a > b \), então \( \sqrt{a} > \sqrt{b} \).
II. Falsa ❌
Exemplo: \( a = 1 \) e \( b = 4 \), temos:
\[ \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3 \]
Resultado é um número racional. Logo, a afirmação está incorreta.
III. Falsa ❌
Contraexemplo: \( a = b = 0{,}1 \)
\[ \sqrt{0{,}1} + \sqrt{0{,}1} \approx 0{,}316 + 0{,}316 = 0{,}632 < 1 \]
Logo, não é sempre maior que 1.
✅ Resposta: Letra a) Apenas I
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