A matemática básica é repleta de conceitos fundamentais que são a base para uma compreensão mais profunda de temas avançados. Entre esses conceitos, as razões e proporções desempenham um papel crucial. Vamos explorar esses tópicos com exemplos resolvidos para facilitar a compreensão.
Razões
Uma razão é uma comparação entre dois números, expressa na forma de uma fração. Se temos dois números a e b, a razão entre a e b é representada por a/b, e é lida como “a para b”. As razões podem ser usadas para comparar quantidades de maneira simples e direta.
Exemplo 1:
Imagine que em uma sala de aula há 10 meninos e 15 meninas. Qual é a razão entre o número de meninos e meninas?
Solução:
A razão entre meninos e meninas é dada por 10/15. Simplificando essa fração, dividimos o numerador e o denominador pelo maior divisor comum (MDC), que é 5:
Portanto, a razão entre meninos e meninas é 2:3.
Exemplo 2:
Em uma receita de bolo, para cada 200g de farinha, são usados 100g de açúcar. Qual é a razão entre farinha e açúcar?
Solução:
A razão entre farinha e açúcar é 200/100 = 2/1. Isso significa que, para cada 2 partes de farinha, usa-se 1 parte de açúcar.
Proporções
Uma proporção é uma equação que afirma que duas razões são iguais. Em outras palavras, se
dizemos que ( a ), ( b ), ( c ) e ( d ) estão em proporção.
Exemplo 1:
Se 4 maçãs custam 8 reais, quanto custarão 10 maçãs?
Solução:
Aqui, montamos uma proporção onde x é o custo de 10 maçãs:
Multiplicando cruzado:
Portanto, 10 maçãs custarão 20 reais.
Exemplo 2:
Uma fábrica produz 50 peças em 5 horas. Quantas peças serão produzidas em 8 horas, mantendo a mesma taxa de produção?
Solução:
Vamos montar a proporção onde x é o número de peças produzidas em 8 horas:
Multiplicando cruzado:
Assim, a fábrica produzirá 80 peças em 8 horas.
Números Diretamente Proporcionais
Dois números são diretamente proporcionais quando o aumento de um provoca o aumento do outro na mesma proporção, e o mesmo vale para a diminuição. A relação entre eles pode ser expressa pela fórmula y = kx, onde k é a constante de proporcionalidade.
Exemplo 1:
Uma empresa paga 15 reais por hora de trabalho. Quanto um funcionário receberá por 40 horas de trabalho?
Solução:
A relação entre o pagamento P e as horas trabalhadas h é diretamente proporcional. Assim:
Exemplo 2:
Se 2 carros precisam de 10 litros de combustível para percorrer 100 km, quantos litros serão necessários para 4 carros percorrerem a mesma distância?
Solução:
Aqui, o consumo é diretamente proporcional ao número de carros:
Portanto, 20 litros serão necessários.
Números Inversamente Proporcionais
Dois números são inversamente proporcionais quando o aumento de um provoca a diminuição do outro na mesma proporção. A relação entre eles é dada por y =k/x, onde k é a constante de proporcionalidade.
Exemplo 1:
Se 3 trabalhadores constroem um muro em 12 dias, quantos dias levarão 6 trabalhadores para construir o mesmo muro?
Solução:
Como o número de trabalhadores é inversamente proporcional ao tempo necessário, podemos usar a proporção:
Multiplicando cruzado:
Portanto, 6 trabalhadores levarão 6 dias.
Exemplo 2:
Se uma torneira leva 30 minutos para encher um tanque, quanto tempo levarão 3 torneiras iguais para encher o mesmo tanque?
Solução:
Aqui, o tempo é inversamente proporcional ao número de torneiras:
Multiplicando cruzado:
Três torneiras levarão 10 minutos para encher o tanque.
Divisão Proporcional
A divisão proporcional envolve dividir uma quantia em partes proporcionais a determinados valores.
Exemplo 1:
Divida 1200 reais entre três pessoas de forma proporcional às suas idades: 20, 30 e 50 anos.
Solução:
Primeiro, somamos as idades:
20 + 30 + 50 = 100
Agora, calculamos a parte de cada um:
Exemplo 2:
Divida 900 kg de alimentos entre três fazendas, proporcionalmente ao número de animais que cada uma possui: 15, 25 e 35 animais.
Solução:
Somamos os animais:
[15 + 25 + 35 = 75
Agora, calculamos a parte de cada fazenda:
Esses conceitos de razões e proporções são essenciais para resolver uma ampla gama de problemas práticos e matemáticos. A prática com exemplos como os apresentados ajudará a fixar o entendimento e a aplicação desses conceitos no dia a dia.
Lista de Exercício Razão e Proporção
1. Qual é a razão entre 12 e 16?
- (A) 3/4
- (B) 4/3
- (C) 2/3
- (D) 3/2
2. Se x e y são diretamente proporcionais e x = 4 quando y = 10, qual é o valor de y quando x = 8?
- (A) 15
- (B) 20
- (C) 25
- (D) 30
3. Qual é a razão entre 45 minutos e 1 hora?
- (A) 1/4
- (B) 3/4
- (C) 4/5
- (D) 5/6
4. Se 6 maçãs custam 18 reais, quanto custarão 10 maçãs?
- (A) 24 reais
- (B) 28 reais
- (C) 30 reais
- (D) 36 reais
5. Se 5 trabalhadores constroem um muro em 10 dias, quantos dias levarão 10 trabalhadores para construir o mesmo muro?
- (A) 2 dias
- (B) 4 dias
- (C) 5 dias
- (D) 6 dias
6. Qual é a razão entre 20 e 50?
- (A) 2/3
- (B) 2/5
- (C) 3/5
- (D) 4/5
7. Um carro percorre 180 km em 2 horas. Qual é a razão entre a distância e o tempo?
- (A) 80 km/h
- (B) 90 km/h
- (C) 100 km/h
- (D) 120 km/h
8. Se x e y são inversamente proporcionais e x = 6 quando y = 12, qual é o valor de y quando x = 8?
- (A) 7
- (B) 8
- (C) 9
- (D) 10
9. Divida 360 reais entre três pessoas em partes proporcionais a 3, 4 e 5. Quanto receberá a pessoa que deve receber a maior parte?
- (A) 120 reais
- (B) 140 reais
- (C) 150 reais
- (D) 160 reais
10. Qual é a razão entre 7 e 21?
- (A) 1/2
- (B) 1/3
- (C) 2/5
- (D) 3/5
11. Se 2 livros custam 30 reais, quanto custarão 5 livros?
- (A) 60 reais
- (B) 65 reais
- (C) 70 reais
- (D) 75 reais
12. Se 4 máquinas produzem 80 peças por hora, quantas peças 6 máquinas produzem no mesmo período?
- (A) 100
- (B) 120
- (C) 140
- (D) 160
13. Qual é a razão entre 25 e 40?
- (A) 3/4
- (B) 4/5
- (C) 5/6
- (D) 5/8
14. Se 3 metros de tecido custam 45 reais, quanto custam 8 metros?
- (A) 100 reais
- (B) 110 reais
- (C) 120 reais
- (D) 130 reais
15. Se 4 funcionários realizam uma tarefa em 12 dias, quantos dias levarão 6 funcionários para realizar a mesma tarefa?
- (A) 4 dias
- (B) 6 dias
- (C) 8 dias
- (D) 9 dias
16. Qual é a razão entre 8 e 64?
- (A) 1/6
- (B) 1/7
- (C) 1/8
- (D) 1/9
17. Se x e y são diretamente proporcionais e x = 9 quando y = 18, qual é o valor de y quando x = 12?
- (A) 20
- (B) 22
- (C) 24
- (D) 26
18. Divida 480 reais entre 4 pessoas em partes proporcionais a 2, 3, 4 e 5. Quanto receberá a pessoa que deve receber a menor parte?
- (A) 50 reais
- (B) 60 reais
- (C) 80 reais
- (D) 100 reais
19. Se 9 bananas custam 27 reais, quanto custarão 15 bananas?
- (A) 30 reais
- (B) 35 reais
- (C) 40 reais
- (D) 45 reais
20. Qual é a razão entre 14 e 42?
- (A) 1/4
- (B) 1/3
- (C) 2/5
- (D) 3/5
Gabarito:
- (A) 3/4
- (B) 20
- (B) 3/4
- (C) 30 reais
- (C) 5 dias
- (B) 2/5
- (B) 90 km/h
- (C) 9
- (C) 150 reais
- (B) 1/3
- (D) 75 reais
- (B) 120
- (D) 5/8
- (C) 120 reais
- (C) 8 dias
- (C) 1/8
- (C) 24
- (B) 60 reais
- (D) 45 reais
- (B) 1/3
Esses exercícios cobrem uma variedade de conceitos sobre razões e proporções, proporcionando uma prática abrangente para consolidar o entendimento dos tópicos.
