Relação Fundamental do Triângulo Retângulo
A relação fundamental da trigonometria estabelece que, num triângulo retângulo e para um ângulo agudo \(\alpha\), vale a identidade:
Essa relação é base para muitas outras transformações e simplificações em trigonometria e geometria.
Demonstrando geometricamente
Considere um triângulo retângulo \(ABC\), com hipotenusa \(a\) e catetos \(b\), \(c\).
- \(\sin \alpha = \frac{b}{a}\)
- \(\cos \alpha = \frac{c}{a}\)
Então:
Exemplos resolvidos
Exemplo 1: Se \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\), encontre \(\sin \alpha\).
Use \(\sin^2 \alpha = 1 – \cos^2 \alpha = 1 – \frac{16}{25} = \frac{9}{25}\). Então \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) (ângulo agudo, valor positivo).
Exemplo 2: Se \(\sin \alpha = \frac{12}{13}\), calcule \(\cos^2 \alpha\).
\(\cos^2 \alpha = 1 – \sin^2 \alpha = 1 – \frac{144}{169} = \frac{25}{169}\).
Exercícios de prática
1) Se \(\sin \alpha = \frac{5}{13}\), então \(\cos \alpha =\)
- \(\frac{12}{13}\)
- \(\frac{12}{13}\)
- \(\frac{5}{12}\)
- \(\frac{13}{12}\)
Ver solução
\(\cos^2 \alpha = 1 – \frac{25}{169} = \frac{144}{169}\). Logo \(\cos\alpha = \frac{12}{13}\).
2) Se \(\cos \alpha = 0{,}8\), qual é \(\sin \alpha\)?
- 0,6
- 0,6
- 0,9
- 0,75
Ver solução
\(\sin^2 \alpha = 1 – 0{,}64 = 0{,}36 \Rightarrow \sin \alpha = 0{,}6\).
3) Se \(\sin \alpha = \frac{7}{25}\), qual \(\cos^2 \alpha\)?
- \(\frac{49}{625}\)
- \(\frac{576}{625}\)
- \(\frac{25}{49}\)
- \(\frac{24}{25}\)
Ver solução
\(\cos^2 \alpha = 1 – \frac{49}{625} = \frac{576}{625}\).
