Simplificação de Expressões com Radicais Usando Produtos Notáveis

Sim, existe uma forma mais simples de simplificar a expressão

Essa expressão é um tipo específico de número conhecido como uma “forma quadrática conjugada”, que pode ser expressa como:

Para encontrar ( a ) e ( b ), podemos usar uma abordagem direta sem expandir tanto os cálculos.

Passo 1: Supor que

Elevando ambos os lados ao quadrado, temos:

Agora, igualamos os coeficientes dos termos com e sem √3:

1. Para os termos sem √3:
   
   a² + 3b² = 21
   
2. Para os termos com √3:
   
   -2ab = -12
   
   ab = 6
   

Passo 2: Resolver o sistema de equações

Agora temos o sistema:

a² + 3b2 = 21

ab = 6

Vamos tentar valores inteiros para ( a ) e ( b ) que satisfaçam essas equações.

1. Escolha ( a = 3 ):

• Se ( a = 3 ), então ( b = 6/3 = 2 ).
• Verifique se esses valores satisfazem a primeira equação:
  
  a² + 3b² = 3² + 3 ⋅ 2² = 9 + 3 ⋅ 4 = 9 + 12 = 21
  

Esses valores satisfazem ambas as equações, então:

Resumo

A simplificação de

é:

Essa abordagem evita os passos mais longos e torna a simplificação mais direta.