Triângulo Acutângulo — propriedades, fórmulas (uma por linha), exemplos e exercícios
O que é um triângulo acutângulo?
Um triângulo é acutângulo quando todos os seus ângulos internos são agudos, isto é, cada um mede menos que \(90^\circ\). Qualquer triângulo pode ser classificado por ângulos em: acutângulo, retângulo ou obtusângulo. Para revisar todos os tipos por lados e ângulos, visite Tipos de Triângulos.
Na imagem, nenhum ângulo forma canto reto, logo é acutângulo. Em provas, reconhecer isso rapidamente evita cálculos desnecessários.
Como reconhecer rapidamente um triângulo acutângulo
1) Pela medida dos ângulos
- Se \( \max(\angle A,\angle B,\angle C) < 90^\circ \Rightarrow \) acutângulo.
2) Pelos lados (Pitágoras ao contrário)
Sejam \(a,b,c\) os lados e \(c\) o maior. Então:
Essa versão vem da lei dos cossenos e é muito útil quando só temos comprimentos.
Propriedades que valem em qualquer acutângulo
- Alturas se intersectam dentro do triângulo (ortocentro interno).
- Medianas e bissetrizes também intersectam internamente (baricentro e incentro internos).
- Circuncentro (interseção das mediatrizes) fica dentro do triângulo — diferente do obtusângulo, onde pode ser externo.
- Para qualquer lado \(a\) e ângulo oposto \(A\): \( \displaystyle A_\triangle=\frac{bc\sin A}{2} \) e \( \displaystyle h_a=\frac{2A_\triangle}{a} \).
Para estudar os pontos notáveis (baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro) em detalhe, consulte Pontos Notáveis do Triângulo. Resumos prontos nos Mapas Mentais.
Fórmulas úteis (uma por linha, com cores)
Precisa relembrar formas de calcular a área? Esse artigo reúne todas, inclusive as que mais caem no ENEM. A coleção 10 eBooks traz quadros-resumo de acutângulo, retângulo e obtusângulo.
Exemplos resolvidos (passo a passo vertical)
Exemplo 1 — Mostre que o triângulo de lados \(a=7\), \(b=8\), \(c=9\) é acutângulo.
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O maior lado é \(c=9\). Teste de Pitágoras ao contrário:
\(c^2 \stackrel{?}{<} a^2+b^2\)
\(9^2 \stackrel{?}{<} 7^2+8^2\)
\(81 \stackrel{?}{<} 49+64\)
\(81 \stackrel{?}{<} 113\) ✓
Logo, é acutângulo.
Exemplo 2 — Num triângulo acutângulo, \(b=10\), \(c=12\) e \(A=40^\circ\). Calcule a área.
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Use \( A=\dfrac{bc\sin A}{2} \):
\(A=\dfrac{10\cdot 12\cdot \sin 40^\circ}{2}\)
\(=\dfrac{120\cdot 0{,}642788\ldots}{2}\)
\(=\dfrac{77{,}1346\ldots}{1}\)
\(\approx 77{,}13\ \text{u}^2\).
Atalho trigonométrico prático; veja também triângulo retângulo para revisar razões trigonométricas.
Exercícios de múltipla escolha (com solução em abre/fecha)
1) O triângulo de lados \(6,7,8\) é:
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Maior lado \(=8\).
\(8^2 \stackrel{?}{<} 6^2+7^2\)
\(64 \stackrel{?}{<} 36+49\)
\(64 \stackrel{?}{<} 85\) ✓
Alternativa C (acutângulo).
2) Em um triângulo acutângulo, \(a=9\), \(b=12\) e \(C=50^\circ\). A área é aproximadamente:
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\(A=\dfrac{ab\sin C}{2}\)
\(=\dfrac{9\cdot 12\cdot \sin 50^\circ}{2}\)
\(=\dfrac{108\cdot 0{,}7660\ldots}{2}\)
\(=\dfrac{82{,}728\ldots}{2}\)
\(\approx 41{,}36\).
Alternativa B.
3) Para lados \(8,15,c\) com maior lado \(c\), o triângulo é acutângulo se:
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\(c^2 < 64+225=289\)
\(c < 17\).
Alternativa C.
4) Num triângulo acutângulo, qual afirmação é sempre verdadeira?
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D. No acutângulo, ortocentro, incentro e circuncentro ficam dentro do triângulo; alturas são internas.
5) Se \(a=10\), \(b=13\), \(c=14\). Classifique-o por ângulos.
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Maior lado \(=14\).
\(14^2 \stackrel{?}{<} 10^2+13^2\)
\(196 \stackrel{?}{<} 100+169\)
\(196 \stackrel{?}{<} 269\) ✓
Alternativa C.
6) Em um acutângulo, \(b=11\), \(c=12\) e \(A=35^\circ\). O raio da circunferência circunscrita é:
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\(a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\)
\(=121+144-264\cdot 0{,}81915\ldots\)
\(=48{,}75\Rightarrow a\approx 6{,}985\).
\(2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{6{,}985}{\sin35^\circ}\approx 12{,}18\Rightarrow R\approx 6{,}09\).
Alternativa B (≈6,1).
7) No triângulo acutângulo, \(a=9\), \(b=10\), \(C=40^\circ\). A altura relativa a \(c\) é:
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\(c^2=9^2+10^2-2\cdot9\cdot10\cos40^\circ=43{,}12\Rightarrow c\approx 6{,}57\).
\(h_c=\dfrac{ab\sin C}{c}=\dfrac{9\cdot10\cdot \sin 40^\circ}{6{,}57}\approx \mathbf{8{,}81}\).
Alternativa C (≈8,8).
8) Para \(a=5\), \(b=7\), \(c=8\), a área por Heron é aproximadamente:
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\(s=\dfrac{5+7+8}{2}=10\).
\(A=\sqrt{10\cdot 5\cdot 3\cdot 2}=\sqrt{300}\approx \mathbf{17{,}32}\).
Alternativa B.
9) Em qualquer acutângulo, qual ponto notável fica fora do triângulo?
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No acutângulo, todos ficam internos.
Alternativa E.
10) Um triângulo acutângulo tem perímetro 29 com lados \(8\), \(x\) e \(y\) (\(y\) é o maior). Se \(x=9\), qual é \(y\)?
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\(8+9+y=29\Rightarrow y=12\).
Teste: \(12^2=144<8^2+9^2=145\) ✓ (acutângulo).
Alternativa C.
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Triângulo retângulo Triângulo obtusângulo Área de triângulo Pontos notáveis Tipos de triângulos Triângulo equilátero Triângulo escaleno
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