Triângulo Isósceles — propriedades, fórmulas (uma por linha), exemplos e exercícios

No triângulo isósceles, os ângulos da base são iguais e a altura do vértice coincide com a mediana e a bissetriz.

O que é um triângulo isósceles?

É o triângulo que possui dois lados congruentes (iguais). Denotaremos os lados iguais por \(x\) e a base por \(b\). A reta de simetria sai do vértice comum aos lados iguais e encontra o ponto médio da base, atuando simultaneamente como altura, mediana e bissetriz.

Para situar-se entre os tipos de triângulos, compare com os triângulos retângulos e com casos notáveis como o equilátero. Se estiver revisando para provas, recomendo nossos Mapas Mentais de Matemática — ótimos para memorização rápida.

Propriedades essenciais

Ângulos da base congruentes: se \(AB=AC\), então \(\angle B=\angle C\).
Reta de simetria: a partir do vértice, altura = mediana = bissetriz.
Perímetro: \(P=2x+b\).
Condição de existência (desigualdade triangular): \(b<2x\) e \(x>0\).
Classificação angular: pode ser acutângulo, retângulo ou obtusângulo.

Para aplicações com baricentro, incentro, etc., veja pontos notáveis do triângulo. Se quiser exercícios adicionais editáveis, acesse o Banco de Questões.

Fórmulas do triângulo isósceles (uma por linha)

Altura: \( \displaystyle h=\sqrt{x^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2} \) Área (com a altura): \( \displaystyle A=\frac{b\cdot h}{2} \) Área (só com \(x\) e \(b\)): \( \displaystyle A=\frac{b}{4}\sqrt{\,4x^2-b^2\,} \) Base pelo ângulo do vértice \(\beta\): \( \displaystyle b=2x\sin\!\left(\frac{\beta}{2}\right) \) Área em função de \(\beta\): \( \displaystyle A=\frac{x^2}{2}\,\sin\beta \) Altura pela tangente do ângulo da base \(\alpha\): \( \displaystyle h=\frac{b}{2}\tan\alpha \) Lado igual via seno: \( \displaystyle x=\frac{h}{\sin\alpha} \) Perímetro: \( \displaystyle P=2x+b \)

Para comparação com fórmulas específicas dos triângulos retângulos (Pitágoras, razões trigonométricas e relações métricas), consulte o artigo: Triângulo Retângulo. Um bom resumo está na nossa coleção de 10 eBooks.

Exemplos resolvidos (passo a passo vertical)

Exemplo 1 — No triângulo isósceles com \(x=13\) e \(b=10\), calcule \(h\), \(A\) e \(P\).

Mostrar solução

\(h=\sqrt{13^2-5^2}\)
\(=\sqrt{169-25}\)
\(=\sqrt{144}\)
\(=12\).

\(A=\dfrac{b\cdot h}{2}\)
\(=\dfrac{10\cdot 12}{2}\)
\(=60\).

\(P=2x+b\)
\(=2\cdot 13+10\)
\(=36\).

Exemplo 2 — Dado \(x=8\) e \(\beta=40^\circ\), determine \(b\) e \(A\).

Mostrar solução

\(b=2x\sin(\beta/2)\)
\(=2\cdot 8\cdot \sin20^\circ\)
\(=16\cdot 0{,}3420\ldots\)
\(\approx 5{,}472\).

\(A=\dfrac{x^2}{2}\sin\beta\)
\(=\dfrac{64}{2}\cdot \sin40^\circ\)
\(=32\cdot 0{,}642788\ldots\)
\(\approx 20{,}57\ \text{u}^2\).

Dica: quando a altura aparece naturalmente, a área do triângulo isósceles fica muito rápida. Para revisar formas alternativas de área, veja Área de triângulo.

Exercícios de Múltipla Escolha — Triângulo Isósceles

Pratique as propriedades que mais caem. Compare, quando útil, com resultados clássicos dos triângulos retângulos. Para treinar mais, recomendo +600 Questões ENEM Comentadas.

1) Em um triângulo isósceles com \(x=13\) e \(b=10\), a área é:

A) 56 B) 60 C) 62 D) 65 E) 70

Mostrar solução

\(h=\sqrt{13^2-5^2}\)
\(=\sqrt{169-25}\)
\(=\sqrt{144}=12\).

\(A=\dfrac{10\cdot 12}{2}=60\).

Alternativa B.

2) O perímetro é \(40\) e a base \(b=12\). O valor de \(x\) é:

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

Mostrar solução

\(2x+b=40\)
\(2x+12=40\)
\(2x=28\)
\(x=14\).

Alternativa C.

3) Com \(b=14\) e \(\alpha=50^\circ\), a altura é aproximadamente:

A) 7,0 B) 8,34 C) 9,20 D) 10,0 E) 11,6

Mostrar solução

\(h=\dfrac{b}{2}\tan\alpha\)
\(=7\tan50^\circ\)
\(=7\cdot 1{,}1918\ldots\)
\(\approx 8{,}34\).

Alternativa B.

4) Para \(x=10\), qual base torna o triângulo isósceles retângulo (\(\beta=90^\circ\))?

A) 12,0 B) 13,0 C) 14,14 D) 15,0 E) 16,0

Mostrar solução

\(b=2x\sin(\beta/2)\)
\(=2\cdot 10\cdot \sin45^\circ\)
\(=20\cdot \dfrac{\sqrt2}{2}\)
\(\approx 14{,}14\).

Alternativa C.

5) Se \(\beta=36^\circ\), cada ângulo da base mede:

A) \(54^\circ\) B) \(60^\circ\) C) \(72^\circ\) D) \(75^\circ\) E) \(90^\circ\)

Mostrar solução

\(\alpha=\dfrac{180^\circ-\beta}{2}\)
\(=\dfrac{180^\circ-36^\circ}{2}\)
\(=72^\circ\).

Alternativa C.

6) Para \(x=10\) e \(b=12\), o ângulo do vértice \(\beta\) é aproximadamente:

A) \(68^\circ\) B) \(70^\circ\) C) \(73{,}74^\circ\) D) \(80^\circ\) E) \(90^\circ\)

Mostrar solução

\(b=2x\sin(\beta/2)\Rightarrow \sin(\beta/2)=\dfrac{b}{2x}\)
\(\sin(\beta/2)=\dfrac{12}{20}=0{,}6\)
\(\beta/2\approx 36{,}87^\circ\)
\(\beta\approx 73{,}74^\circ\).

Alternativa C.

7) Com \(b=16\) e \(h=12\), o lado igual \(x\) vale aproximadamente:

A) 13,00 B) 13,86 C) 14,42 D) 15,00 E) 16,00

Mostrar solução

\(x^2=h^2+\left(\dfrac{b}{2}\right)^2\)
\(=12^2+8^2\)
\(=144+64\)
\(=208\Rightarrow x=\sqrt{208}\approx 14{,}42\).

Alternativa C.

8) Para \(x=9\) e \(b=12\), a área é aproximadamente:

A) 36,00 B) 38,50 C) 40,25 D) 42,00 E) 45,00

Mostrar solução

\(h=\sqrt{9^2-6^2}\)
\(=\sqrt{81-36}\)
\(=\sqrt{45}\approx 6{,}708\).

\(A=\dfrac{b\cdot h}{2}\)
\(=\dfrac{12\cdot 6{,}708}{2}\)
\(\approx 40{,}25\ \text{u}^2\).

Alternativa C.