Um pouco da história das funções

Painel histórico sobre funções com retratos de Leibniz e Newton

De onde veio a ideia?

Muito antes do termo “função” existir, povos antigos já associavam grandezas: tábuas babilônicas traziam relações numéricas; gregos estudaram proporções e curvas; árabes desenvolveram a álgebra. Em essência, sempre que uma quantidade variava em função de outra, a ideia de função estava lá.

Do plano cartesiano ao cálculo

1637 – Descartes apresenta o plano cartesiano e une álgebra e geometria: expressões algébricas agora “viram” curvas.
fim séc. XVII – Newton & Leibniz criam o cálculo (derivadas e integrais) para estudar variações. A linguagem era geométrica/algébrica; o conceito de função ainda não era “fechado”.
Euler (séc. XVIII) populariza a notação \(f(x)\) e resolve problemas com funções exponenciais, trigonométricas e séries. A palavra “função” ganha força: algo que “depende” de \(x\).

O salto conceitual do século XIX

Dirichlet adota uma visão abstrata: função é uma regra que associa, para cada \(x\) do domínio, um único valor \(y\). Não precisa ter fórmula “bonita”.
Cauchy, Fourier e Weierstrass rigorizaram limites e continuidade; Weierstrass mostrou funções contínuas em todo lugar mas sem derivada em ponto algum (mudança de paradigma!).
Riemann e Lebesgue definiram integrais cada vez mais gerais; Cantor introduziu a teoria dos conjuntos e a noção de infinito com precisão.

Visão moderna \[ f:A\to B \quad\text{é uma lei que, a cada } x\in A,\ \text{associa um único } f(x)\in B. \] Domínio \(D(f)=A\), contradomínio \(B\) e imagem \(\operatorname{Im}(f)\subseteq B\).

Sec. XX e XXI: abstração, computação e dados

Nicolas Bourbaki (coletivo de matemáticos) consolidou uma linguagem axiomática para funções, estruturas e provas.
Topologia, análise funcional, categoriais (Eilenberg–Mac Lane): funções como morfismos entre objetos.
Lógica, lambda-cálculo e Turing: funções efetivamente computáveis; base da ciência da computação.
Ciência de dados e IA: modelos como “funções” que aproximam relações em dados (redes neurais, regressões, kernels).

Linha do tempo (visão compacta)
Época	Ideia-chave	Impacto para funções
Antiguidade	Tabelas e proporções	Relações numéricas “pré-função”
1637	Plano cartesiano	Curvas ↔ fórmulas
1680–1700	Cálculo (Newton/Leibniz)	Variação e acumulação
1730–1780	Euler	Notação \(f(x)\), séries, expo/trigo
1800–1875	Dirichlet, Cauchy, Fourier, Weierstrass	Definição abstrata, rigor de limites
1850–1910	Cantor, Riemann, Lebesgue	Conjuntos, integração geral
1930–hoje	Bourbaki, categorias, computação	Unificação estrutural e algoritmos

Por que isso importa para o aluno?

Entender a história ajuda a enxergar por que as definições atuais são como são. A jornada foi do “desenho” e da “fórmula” para a ideia central: função é uma associação única. Com isso, problemas de física, economia, estatística e computação ficam sob a mesma linguagem.

Exemplos rápidos (olhar histórico)

Afim: \(y=ax+b\) (geometria analítica de Descartes).
Exponencial: \(y=e^x\) (Euler e crescimento contínuo).
“Patológicas”: contínua sem derivada (Weierstrass) → mostra que “curvas suaves” não esgotam o mundo das funções.

📘 eBook Fórmulas Matemática (mapa de funções, domínios e imagens)

Exercícios (múltipla escolha) com solução

1) Em linguagem moderna, a sentença que melhor captura a definição de função é:

“Uma expressão com letras e números.”
“Uma curva no plano.”
“Uma regra que associa, a cada \(x\) do domínio, um único \(y\) no contradomínio.”
“Qualquer tabela de valores.”

Ver solução

A visão atual é a associação única entre conjuntos. Alternativa: (c).

2) Qual contribuição está corretamente pareada?