UNICAMP 2020 – Matrizes e Sistema Linear
Seja a matriz de ordem \( 2 \times 3 \), dada por
\[
A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}
\]
a) Seja \( C \) a matriz de ordem \( 3 \times 2 \), cujos elementos são dados por \[ c_{ij} = (-1)^{i+j}, \quad i=1,2,3 \text{ e } j=1,2. \] Determine o produto \( A \cdot C \).
b) Determine a solução do sistema linear \[ A \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \end{bmatrix}, \] em que \( (x,y,z) \) é uma progressão aritmética.
a) Seja \( C \) a matriz de ordem \( 3 \times 2 \), cujos elementos são dados por \[ c_{ij} = (-1)^{i+j}, \quad i=1,2,3 \text{ e } j=1,2. \] Determine o produto \( A \cdot C \).
b) Determine a solução do sistema linear \[ A \cdot \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \end{bmatrix}, \] em que \( (x,y,z) \) é uma progressão aritmética.
- Produto \( A \cdot C \):
Primeiro, formamos a matriz \( C_{3 \times 2} \): \[ C = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \] Então, calculamos: \[ A \cdot C = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \] - Resolvendo o sistema linear:
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 6 \end{cases} \] Para que \( (x,y,z) \) seja uma PA, temos: \[ 2y = x + z \] Resolvendo o sistema: \[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 6 \\ 2y = x + z \end{cases} \quad \Rightarrow \quad (x,y,z) = (5,2,-1) \]
Respostas:
- a) \( A \cdot C = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} \)
- b) \( (x,y,z) = (5,2,-1) \)
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