Uma pesquisadora está testando o efeito de um medicamento em uma bactéria. Sabe-se que a função que descreve a quantidade de bactérias vivas na amostra em um tempo \( t \), dado em minutos, é: \[ Q(t) = C \cdot 10^{-bt} \] com \( b > 0 \) e \( C \) dependendo das características da bactéria e do medicamento.
a) Para uma certa amostra com 5 milhões de bactérias, verificou-se que, nos primeiros 10 minutos, 9/10 da quantidade de bactérias morreram. Qual será a quantidade de bactérias vivas após 20 minutos?
b) Em outra amostra, descobriu-se experimentalmente que \( b = 3 \). Qual o tempo necessário para que a quantidade de bactérias fique reduzida à metade?
a) Determinando \( C \) e \( b \):
- Quantidade inicial: \( Q(0) = 5 \cdot 10^6 \Rightarrow C = 5 \cdot 10^6 \).
- Após 10 min, sobra 1/10 da população:
Após 20 min:
\[ Q(20) = 5 \cdot 10^6 \cdot 10^{-0,1 \cdot 20} = 50\,000 \text{ bactérias} \]b) Tempo para reduzir à metade (\( Q(t) = C/2 \)):
\[ C \cdot 10^{-3t} = \frac{C}{2} \Rightarrow 10^{-3t} = \frac{1}{2} \]Usando \( \log 2 \approx 0,3 \):\[ -3t \cdot \log 10 = -\log 2 \] \[ t \approx 0,1 \text{ minuto} = 6 \text{ segundos} \]Resposta final:
- a) 50.000 bactérias
- b) 6 segundos
