UNICAMP 2024 | 1ª Fase | Funções e Ponto Médio
Considere as funções \( f(x) = 2x + c \) e \( g(x) = 5 – 6x \), com \( c > 0 \). Sejam \( P \) e \( Q \) os pontos de interseção dos gráficos de \( y = f(g(x)) \) e \( y = g(f(x)) \) com o eixo \( y \), respectivamente.
Para que a origem seja o ponto médio do segmento \( PQ \), qual deve ser o valor de \( c \)?
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a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
1) Calculando as funções compostas:
\[ y = f(g(x)) = 2 \cdot (5-6x) + c = -12x + 10 + c \] \[ y = g(f(x)) = 5 – 6 \cdot (2x+c) = -12x – 6c + 5 \]
2) Encontrando os pontos de interseção com o eixo y:
\[ P = (0, 10 + c), \quad Q = (0, -6c + 5) \]
3) Condição para que a origem seja o ponto médio de PQ:
\[ \frac{10 + c + (-6c + 5)}{2} = 0 \implies -5c + 15 = 0 \implies c = 3 \]
Resposta Final: **Alternativa c) 3**
