UNICAMP 2024 | Matemática | 2ª Fase | Números Racionais e Inequações
Considere o número racional \( c \) definido por: \[ c = \frac{2a + b^2 – 1}{4a + 3b}, \] com \(a, b\) números inteiros positivos.
- Se \( b \) é um número par, é possível que \( c \) seja inteiro? Justifique.
- Determine todos os números inteiros positivos \( b \) tais que: \[ c \le \frac{1}{2}. \]
a) Analisando se \( c \) pode ser inteiro quando \( b \) é par
- Se \( b = 2k \), temos: \[ c = \frac{2a + (2k)^2 – 1}{4a + 6k} = \frac{2a + 4k^2 – 1}{2(2a+3k)} \]
- O numerador é ímpar e o denominador é par. Logo, \( c \) **não pode ser inteiro**.
b) Determinação dos valores de \( b \)
Resolvemos a inequação: \[ \frac{2a + b^2 – 1}{4a + 3b} \le \frac{1}{2} \]
Multiplicando cruzado e simplificando: \[ 4a + 2b^2 – 2 \le 4a + 3b \implies 2b^2 – 3b – 2 \le 0 \]
Resolvendo a inequação quadrática: \[ (b+ \frac{1}{2})(b-2) \le 0 \implies 0 < b \le 2 \]
Resposta Final: a) \( c \) não pode ser inteiro quando \( b \) é par. b) \( b = 1 \) ou \( b = 2 \).
