Sejam \( f(x) = x – 2 \) e \( g(x) = x^2 – 4x \) funções reais. A quantidade de números \( x \in \mathbb{Z} \) que satisfazem à inequação \( g(f(x)) < 0 \) é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5
1º Passo – Substituir \( f(x) \) na inequação:
\[ g(f(x)) < 0 \implies g(x-2)<0 \] \[ (x-2)^2 - 4(x-2) < 0 \]
2º Passo – Desenvolver e simplificar:
\[ x^2 – 4x + 4 – 4x + 8 < 0 \] \[ x^2 - 8x + 12 < 0 \]
3º Passo – Resolver a inequação quadrática:
Raízes da equação \( x^2 – 8x + 12 = 0 \): \[ x = \frac{8 \pm \sqrt{64 – 48}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2} \implies x = 2, 6 \] Logo, a solução em \( \mathbb{R} \) é \( 2 < x < 6 \).
4º Passo – Interseção com os números inteiros:
\( x \in \{3, 4, 5\} \) → **3 soluções**
Resposta Final: **Alternativa B**
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