Explore esta lista completa com 11 exercícios sobre conjuntos, todos resolvidos passo a passo e com explicações claras. Ideal para quem está estudando para vestibulares, ENEM, concursos ou reforçando o conteúdo de matemática básica. As questões abordam temas como conjuntos numéricos, diferença entre conjuntos, interseção, números racionais e irracionais, representações em retas numéricas e muito mais.
Aprenda de verdade com cada exercício conjunto resolvido, veja onde errou e descubra como acertar com confiança. 📘💡
🧠 Mapas Mentais de MatemáticaConteúdo: Operações com Conjuntos – União, Interseção e Igualdade de Conjuntos
Questão 1. (IFS-SE) O que podemos afirmar sobre os conjuntos \( A \), \( B \) e \( C \) que satisfazem as seguintes condições:
\[ \left\{ \begin{aligned} A \cup B \cup C &= \{a, b, c, d, e, f, g, h, i\} \\ A \cup C &= \{b, c, d, e, f, g, h, i\} \\ A \cup B &= \{a, b, e, f, g, h, i\} \\ A \cap B &= \{f, g\} \\ B \cap C &= \{b, f\} \\ C \cap A &= \{e, f\} \end{aligned} \right. \]
Alternativas:
- a) \( A = C \)
- b) \( B = \{a, b, c, f, g\} \)
- c) \( A = \{e, f, g, h, i\} \)
- d) \( A \cap B \cap C = \{b, e, f, g\} \)
📝 Ver Solução Passo a Passo
1️⃣ Analisando os dados fornecidos:
Uniões:
- \( A \cup B \cup C = \{a, b, c, d, e, f, g, h, i\} \)
- \( A \cup C = \{b, c, d, e, f, g, h, i\} \)
- \( A \cup B = \{a, b, e, f, g, h, i\} \)
Interseções:
- \( A \cap B = \{f, g\} \)
- \( B \cap C = \{b, f\} \)
- \( C \cap A = \{e, f\} \)
2️⃣ Vamos montar os conjuntos com base nas interseções:
- Como \( A \cap B = \{f, g\} \), então \( f \) e \( g \) estão em \( A \) e em \( B \).
- Como \( B \cap C = \{b, f\} \), então \( b \) e \( f \) estão em \( B \) e \( C \).
- Como \( C \cap A = \{e, f\} \), então \( e \) e \( f \) estão em \( C \) e \( A \).
3️⃣ Identificando elementos comuns e exclusivos:
- \( f \) está nos três conjuntos.
- De \( A \cup C = \{b, c, d, e, f, g, h, i\} \), e como \( A \cup B = \{a, b, e, f, g, h, i\} \), sabemos que:
- \( a \in B \) ou \( A \)
- \( c, d \in C \), pois não estão em \( A \cup B \)
4️⃣ Montando possíveis conjuntos:
Conjunto A: Está em todas as uniões e interseções com: \( e, f, g, h, i \)
Conjunto A = \{e, f, g, h, i\} ✅
Essa alternativa corresponde à letra c).
Gabarito: Letra c
🧠 Mapas Mentais de Matemática
Conteúdo: Conjuntos – Problemas com interseção e complementares
Questão 2. (PUC-RJ) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de quarenta alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões?
Alternativas:
- a) 40
- b) 10
- c) nenhum
- d) 8
- e) 5
📝 Ver Solução Passo a Passo
1️⃣ Definições iniciais:
- Total de alunos: \( 40 \)
- Alunos que acertaram as duas: \( 10 \)
- Alunos que acertaram a primeira: \( 25 \)
- Alunos que acertaram a segunda: \( 20 \)
2️⃣ Fórmula da união de dois conjuntos:
\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \]
Aplicando os valores:
\[ n(A \cup B) = 25 + 20 – 10 = 35 \]
3️⃣ Alunos que acertaram pelo menos uma questão:
Foram \( 35 \) alunos que acertaram ao menos uma questão.
4️⃣ Alunos que erraram as duas questões:
\[ 40 – 35 = 5 \]
✅ Resposta: Letra e) 5 alunos erraram as duas questões.
🧠 Mapas Mentais de Matemática
Conteúdo: Conjuntos – Interseção, união e complemento
Questão 3. (Enem/MEC) Um grupo sanguíneo, ou tipo sanguíneo, baseia-se na presença ou ausência de dois antígenos, A e B, na superfície das células vermelhas do sangue. Como dois antígenos estão envolvidos, os quatro tipos sanguíneos distintos são:
- Tipo A: apenas o antígeno A está presente;
- Tipo B: apenas o antígeno B está presente;
- Tipo AB: ambos os antígenos estão presentes;
- Tipo O: nenhum dos antígenos está presente.
Foram coletadas amostras de sangue de 200 pessoas e, após análise laboratorial, foi identificado que em 100 amostras está presente o antígeno A, em 110 amostras há presença do antígeno B e em 20 amostras nenhum dos antígenos está presente. Dessas pessoas que foram submetidas à coleta de sangue, o número das que possuem o tipo sanguíneo A é igual a:
Alternativas:
- a) 30
- b) 60
- c) 70
- d) 90
- e) 100
📝 Ver Solução Passo a Passo
1️⃣ Definindo os conjuntos:
- Total: \( 200 \)
- Pessoas com antígeno A: \( 100 \)
- Pessoas com antígeno B: \( 110 \)
- Sem antígenos (tipo O): \( 20 \)
2️⃣ Aplicando fórmula da união de dois conjuntos:
\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) – n(A \cap B) \]
Sabemos que:
\[ n(A \cup B) = 200 – 20 = 180 \]
Substituindo:
\[ 180 = 100 + 110 – x \Rightarrow x = 30 \]
3️⃣ Interpretando o valor de \( x \):
O valor de \( x = 30 \) representa o número de pessoas com tipo AB (com os dois antígenos).
4️⃣ Número de pessoas com tipo A (apenas antígeno A):
\[ 100 – 30 = 70 \]
✅ Resposta: Letra c) 70 pessoas possuem o tipo A.
🧠 Mapas Mentais de Matemática
Conteúdo: Conjuntos – Contagem com Interseções
Questão 4. (UFS-SE) Os senhores \( A \), \( B \) e \( C \) concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve:
- 100 votos para \( A \) e \( B \),
- 80 votos para \( B \) e \( C \),
- 20 votos para \( A \) e \( C \).
Em consequência:
Alternativas:
- a) venceu A, com 120 votos.
- b) venceu A, com 140 votos.
- c) A e B empataram em primeiro lugar.
- d) venceu B, com 140 votos.
- e) venceu B, com 180 votos.
📝 Ver Solução Passo a Passo
1️⃣ Entendendo a lógica:
Cada voto é para dois candidatos. Vamos somar os votos recebidos por cada um, lembrando que um mesmo par soma votos para dois candidatos:
- \( A \): aparece nos pares \( AB \) e \( AC \) → \( 100 + 20 = 120 \) votos
- \( B \): aparece nos pares \( AB \) e \( BC \) → \( 100 + 80 = 180 \) votos
- \( C \): aparece nos pares \( AC \) e \( BC \) → \( 20 + 80 = 100 \) votos
2️⃣ Comparando os totais:
- \( A = 120 \) votos
- \( B = 180 \) votos ✅
- \( C = 100 \) votos
✅ Resposta: Letra e) venceu B, com 180 votos.
🧠 Mapas Mentais de Matemática
Conteúdo: Conjuntos e Frações – Complementares e Soma de Partes
Questão 5. (UFRGS-RS) Em uma escola, sabe-se que:
- \( \dfrac{2}{5} \) dos estudantes praticam somente o esporte A;
- \( \dfrac{1}{3} \) dos estudantes praticam somente o esporte B;
- \( \dfrac{1}{6} \) dos estudantes praticam os dois esportes A e B.
A fração que representa a quantidade de estudantes dessa escola que não praticam o esporte A e não praticam o esporte B é:
Alternativas:
- a) \( \dfrac{1}{10} \)
- b) \( \dfrac{1}{5} \)
- c) \( \dfrac{2}{7} \)
- d) \( \dfrac{1}{2} \)
- e) \( \dfrac{9}{10} \)
📝 Ver Solução Passo a Passo
1️⃣ Identificando os grupos:
- Somente A: \( \dfrac{2}{5} \)
- Somente B: \( \dfrac{1}{3} \)
- Ambos A e B: \( \dfrac{1}{6} \)
2️⃣ Soma dos que praticam pelo menos um esporte:
\[ \text{Total com A ou B} = \dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \]
MMC entre 5, 3 e 6 é 30:
\[ \dfrac{2}{5} = \dfrac{12}{30}, \quad \dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{30}, \quad \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{30} \]
\[ \text{Total com A ou B} = \dfrac{12 + 10 + 5}{30} = \dfrac{27}{30} \]
3️⃣ Fração que representa os que não praticam A nem B:
\[ 1 – \dfrac{27}{30} = \dfrac{3}{30} = \dfrac{1}{10} \]
✅ Resposta: Letra a) \( \dfrac{1}{10} \)
🧠 Mapas Mentais de Matemática
Conteúdo: Números Racionais – Representação na Reta Numérica e Intervalos
Questão 6. (IFPI) O professor Antônio desenhou a seguinte reta numérica:
O número \( -\dfrac{17}{5} \) foi marcado entre que pontos dessa reta numérica?
Alternativas:
- a) 2 e 3
- b) 3 e 4
- c) \( -3 \) e \( -2 \)
- d) \( -4 \) e \( -3 \)
- e) \( -5 \) e \( -4 \)
📝 Ver Solução Passo a Passo
1️⃣ Convertendo a fração para número decimal:
\[ -\dfrac{17}{5} = -3{,}4 \]
2️⃣ Localizando na reta:
Sabemos que \( -3{,}4 \) está entre os inteiros \( -4 \) e \( -3 \).
✅ Resposta: Letra d) entre -4 e -3
🧠 Mapas Mentais de Matemática
Conteúdo: Números Irracionais – Intervalos e Aproximações Numéricas
Questão 7. (UFF-RJ) O número \( \pi – \sqrt{2} \) pertence ao intervalo:
Alternativas:
- a) \( \left[1, \dfrac{3}{2}\right] \)
- b) \( \left] \dfrac{1}{2}, 1 \right] \)
- c) \( \left] \dfrac{3}{2}, 2 \right] \)
- d) \( \left]-1, 1\right[ \)
- e) \( \left] -\dfrac{3}{2}, 0 \right] \)
📝 Ver Solução Passo a Passo
1️⃣ Utilizando aproximações conhecidas:
- \( \pi \approx 3{,}14 \)
- \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \)
2️⃣ Calculando \( \pi – \sqrt{2} \):
\[ \pi – \sqrt{2} \approx 3{,}14 – 1{,}41 = 1{,}73 \]
3️⃣ Verificando em qual intervalo esse número está:
\[ \dfrac{3}{2} = 1{,}5 \quad \text{e} \quad 2 = 2{,}0 \]
Logo, \( 1{,}73 \in \left] \dfrac{3}{2}, 2 \right] \)
✅ Resposta: Letra c
🧠 Mapas Mentais de Matemática
Conteúdo: Propriedades dos Radicais – Comparação e Classificação de Números
Questão 8. (UFRGS-RS) Dados \( a \) e \( b \) números reais positivos, considere as afirmações abaixo:
- I. Se \( a > b \), então \( \sqrt{a} > \sqrt{b} \).
- II. Para quaisquer \( a \) e \( b \), \( \sqrt{a} + \sqrt{b} \) é um número irracional.
- III. Para quaisquer \( a \) e \( b \), \( \sqrt{a} + \sqrt{b} > 1 \).
Quais estão corretas?
Alternativas:
- a) Apenas I
- b) Apenas III
- c) Apenas I e II
- d) Apenas II e III
- e) I, II e III
📝 Ver Solução Passo a Passo
🔎 Análise das afirmações:
I. Correta ✅
Como a função \( f(x) = \sqrt{x} \) é estritamente crescente no conjunto dos reais positivos, se \( a > b \), então \( \sqrt{a} > \sqrt{b} \).
II. Falsa ❌
Exemplo: \( a = 1 \) e \( b = 4 \), temos:
\[ \sqrt{1} + \sqrt{4} = 1 + 2 = 3 \]
Resultado é um número racional. Logo, a afirmação está incorreta.
III. Falsa ❌
Contraexemplo: \( a = b = 0{,}1 \)
\[ \sqrt{0{,}1} + \sqrt{0{,}1} \approx 0{,}316 + 0{,}316 = 0{,}632 < 1 \]
Logo, não é sempre maior que 1.
✅ Resposta: Letra a) Apenas I
🧠 Mapas Mentais de Matemática
Conteúdo: Diferença de Conjuntos – Intervalos Reais
Questão 9. (PUC-MG) A diferença \( A – B \), sendo:
\( A = \{x \in \mathbb{R} \mid -4 \leq x \leq 3\} \)
\( B = \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x < 5\} \)
é igual a:
Alternativas:
- a) \( \{x \in \mathbb{R} \mid -4 \leq x < -2\} \)
- b) \( \{x \in \mathbb{R} \mid -4 \leq x \leq -2\} \)
- c) \( \{x \in \mathbb{R} \mid 3 < x < 5\} \)
- d) \( \{x \in \mathbb{R} \mid 3 \leq x \leq 5\} \)
- e) \( \{x \in \mathbb{R} \mid -2 \leq x < 5\} \)
📝 Ver Solução Passo a Passo
1️⃣ Entendendo os intervalos:
- \( A = [-4, 3] \)
- \( B = [-2, 5[ \)
2️⃣ Calculando \( A – B \):
Queremos os elementos de \( A \) que não pertencem a B.
Sabemos que \( B \) começa em \( -2 \), então tudo antes de \( -2 \) está em \( A \), mas não está em B.
Logo, \( A – B = [-4, -2[ \)
✅ Resposta: Letra a) \( \{x \in \mathbb{R} \mid -4 \leq x < -2\} \)
🧠 Mapas Mentais de Matemática
Conteúdo: Conjuntos Numéricos – Racionais, Irracionais e Dízimas
Questão 10. (UFSM-RS) Assinale verdadeiro (V) ou falso (F) em cada uma das afirmações a seguir:
- A letra grega \( \pi \) representa o número racional que vale 3,14159265.
- O conjunto dos números racionais e o conjunto dos números irracionais são subconjuntos dos números reais e possuem apenas um ponto em comum.
- Toda dízima periódica provém da divisão de dois números inteiros, portanto é um número racional.
A sequência correta é:
- a) F – V – V
- b) V – V – F
- c) V – F – V
- d) F – F – V
- e) F – V – F
📝 Ver Solução Passo a Passo
🔍 Analisando as afirmações:
I. Falsa ❌
O número \( \pi \) não é racional. É irracional, com infinitas casas decimais não periódicas. Portanto, a afirmação está incorreta.
II. Falsa ❌
Os conjuntos dos números racionais e irracionais são subconjuntos dos reais, sim, mas não possuem **nenhum** ponto em comum. São disjuntos.
III. Verdadeira ✅
Toda dízima periódica é um número racional, pois pode ser expressa como fração entre inteiros. Exemplo: \( 0{,}333\ldots = \frac{1}{3} \).
✅ Resposta: Letra d) F – F – V
🧠 Mapas Mentais de Matemática
Conteúdo: Classificação de números em subconjuntos: \( \mathbb{N}, \mathbb{Q}, \mathbb{Q}^+, \mathbb{R} \)
Questão 11. (PUCCamp-SP) Considere os conjuntos:
- \( \mathbb{N} \): dos números naturais;
- \( \mathbb{Q} \): dos números racionais;
- \( \mathbb{Q}^+ \): dos números racionais não negativos;
- \( \mathbb{R} \): dos números reais.
O número que expressa:
Alternativas:
- a) a quantidade de habitantes de uma cidade é um elemento de \( \mathbb{Q}^+ \), mas não de \( \mathbb{N} \).
- b) a medida da altura de uma pessoa é um elemento de \( \mathbb{N} \).
- c) a velocidade média de um veículo é um elemento de \( \mathbb{Q} \), mas não de \( \mathbb{Q}^+ \).
- d) o valor pago, em reais, por um sorvete é um elemento de \( \mathbb{Q}^+ \).
- e) a medida do lado de um triângulo é um elemento de \( \mathbb{Q} \).
📝 Ver Solução Passo a Passo
🔍 Análise alternativa por alternativa:
a) A quantidade de habitantes é um número natural (\( \mathbb{N} \)), portanto a afirmação está incorreta ao dizer que não é de \( \mathbb{N} \). ❌
b) Altura é medida contínua, normalmente em decimal (ex.: 1,75), portanto pertence a \( \mathbb{R} \), mas não a \( \mathbb{N} \). ❌
c) A velocidade média é positiva ou nula, portanto pertence sim a \( \mathbb{Q}^+ \), e não apenas \( \mathbb{Q} \). ❌
d) O valor pago por um sorvete é positivo ou nulo (ex.: R$0,00; R$5,50), logo pertence a \( \mathbb{Q}^+ \). ✅
e) A medida de um lado de triângulo pode ser irracional (ex.: \( \sqrt{2} \)), então pode pertencer a \( \mathbb{R} \), mas não obrigatoriamente a \( \mathbb{Q} \). ❌
✅ Resposta correta: Letra d) o valor pago é um número racional não negativo.
🧠 Mapas Mentais de Matemática
