11. Diagramas Lógicos
Os diagramas lógicos, também conhecidos como Diagramas de Venn, são ferramentas visuais utilizadas para representar relações entre conjuntos, proposições ou categorias. Eles facilitam a resolução de problemas de lógica, principalmente em questões envolvendo relações de inclusão, interseção e diferença.
11.1 Conceito de Conjuntos
Antes de explorar os diagramas lógicos, é importante relembrar os conceitos básicos de conjuntos:
Conjunto: Uma coleção de elementos que compartilham uma propriedade comum. Representado por letras maiúsculas (ex.: A, B, C).
Exemplo: A={1,2,3}
Relações entre conjuntos:
Inclusão (⊂): Um conjunto está totalmente contido em outro.
Exemplo: A={1,2} ⊂ B={1,2,3,4}
Interseção (∩): Elementos comuns entre dois conjuntos.
Exemplo: A={1,2,3}, B={2,3,4}:
A∩B = {2,3}
União (∪): Todos os elementos dos conjuntos, sem repetição.
Exemplo: A={1,2}, B={2,3}:
A∪B = {1,2,3}
Diferença (-): Elementos que pertencem a um conjunto, mas não ao outro.
Exemplo: A={1,2,3}, B={2,3}:
A − B = {1}
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11.2 Diagramas de Venn
Os diagramas de Venn representam os conjuntos graficamente, utilizando círculos para mostrar as relações entre os elementos. São amplamente utilizados em problemas lógicos para:
- Representar categorias.
- Identificar relações de inclusão e interseção.
- Visualizar as diferenças entre conjuntos.
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11.3 Tipos de Problemas com Diagramas Lógicos
- Problemas de Inclusão Total
Representam situações onde um conjunto está contido em outro. Exemplo:
“Todos os gatos são animais.” Diagrama:- Um círculo (gatos) está dentro de outro círculo (animais).
- Problemas de Interseção
Representam situações onde há elementos comuns entre dois ou mais conjuntos. Exemplo:
“Algumas pessoas falam inglês e francês.” Diagrama:- Dois círculos que se interceptam parcialmente representam o grupo de pessoas que falam os dois idiomas.
- Problemas de Diferença
Representam situações em que elementos pertencem a um conjunto, mas não a outro. Exemplo:
“Em uma turma, 30 alunos jogam futebol, 20 jogam vôlei e 10 jogam ambos os esportes. Quantos alunos jogam apenas futebol?” Resolução usando o diagrama:- Total que jogam futebol: 30.
- Interseção (ambos): 10.
- Apenas futebol: 30−10=20
- Problemas com Três Conjuntos
Envolvem relações entre três conjuntos distintos e suas interseções. Exemplo:
“Em uma pesquisa, 40 pessoas gostam de futebol, 30 gostam de basquete e 20 gostam de vôlei. Dessas, 10 gostam de futebol e basquete, 5 gostam de basquete e vôlei, e 8 gostam dos três esportes. Quantas pessoas gostam apenas de futebol?” Resolução:- Representamos os três conjuntos em um diagrama de Venn com interseções.
- Subtraímos os valores das interseções para calcular as áreas que representam “apenas futebol.”
11.4 Como Resolver Questões com Diagramas Lógicos
- Identifique os conjuntos: Liste os grupos mencionados no problema.
- Desenhe os círculos: Cada conjunto será representado por um círculo.
- Preencha as interseções primeiro: Coloque os valores das regiões onde há elementos em comum.
- Preencha as demais áreas: Subtraia os valores das interseções dos totais fornecidos.
- Responda à pergunta: Utilize o diagrama preenchido para encontrar a solução.
11.5 Exemplo Prático
Enunciado:
Em uma turma de 50 alunos:
- 30 estudam matemática.
- 25 estudam física.
- 10 estudam ambas as disciplinas.
Quantos alunos estudam apenas física?
Resolução:
- Desenhe dois círculos representando os conjuntos “matemática” e “física”.
- Preencha a interseção: 10 (ambas as disciplinas).
- Preencha “apenas matemática”: 30−10 = 20
- Preencha “apenas física”: 25−10 = 15
- Total de alunos verificado: 20 (matemática)+15 (física)+10 (ambas) = 45
Resposta: 15 alunos estudam apenas física.
11.6 Exercício Proposto
Em uma pesquisa com 100 pessoas:
- 60 gostam de futebol,
- 50 gostam de basquete,
- 30 gostam de ambos os esportes.
Quantas pessoas gostam apenas de futebol?
Dica: Use o diagrama de Venn para organizar os dados e calcular a resposta.
Conclusão
Os diagramas lógicos são ferramentas essenciais para organizar e resolver problemas envolvendo conjuntos. Eles facilitam a visualização de relações entre elementos, como inclusão, interseção e diferença. A prática constante com questões envolvendo dois ou mais conjuntos é fundamental para dominar esse tipo de problema em concursos públicos.
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