Inequações Polinomiais do 2º Grau

Acompanhe a situação a seguir.

Um pequeno produtor de mel de abelha deseja vender sua produção em potes de mel. Dadas certas condições, como o custo de produção e a quantidade de unidades vendidas, ele sabe que o lucro semanal \( L(x) \), em reais, obtido com a venda do produto é modelado pela função:

\( L(x) = -x^2 + 100x – 600 \)

em que \( x \) representa o preço, em reais, de cada pote de mel vendido.

Questão: Por quantos reais cada pote de mel deve ser vendido para que o produtor obtenha um lucro semanal maior que R$ 1.000,00?

Para responder a essa questão, precisamos resolver a seguinte inequação:

\( L(x) > 1000 \)

Denominamos inequação polinomial do 2º grau na incógnita \( x \) toda desigualdade que pode ser reduzida a uma das formas a seguir, com \( a, b, c \in \mathbb{R} \) e \( a \ne 0 \):

• \( ax^2 + bx + c \geq 0 \)
• \( ax^2 + bx + c \leq 0 \)
• \( ax^2 + bx + c > 0 \)
• \( ax^2 + bx + c < 0 \)

Resolvendo a inequação:

\( L(x) > 1000 \Rightarrow -x^2 + 100x – 600 > 1000 \)

\( \Rightarrow -x^2 + 100x – 1600 > 0 \)

Multiplicamos a equação por \( -1 \):

\( x^2 – 100x + 1600 < 0 \)

Calculando o discriminante:

\( \Delta = 100^2 – 4 \cdot 1 \cdot 1600 = 10000 – 6400 = 3600 \)

Raízes:

\( x_1 = \frac{100 – 60}{2} = 20 \), \( x_2 = \frac{100 + 60}{2} = 80 \)

Como \( a < 0 \), a parábola tem concavidade voltada para baixo. A inequação será satisfeita entre as raízes:

\( -x^2 + 100x – 1600 > 0 \Rightarrow 20 < x < 80 \)

Portanto, para obter lucro maior que R$ 1.000,00, o preço de cada pote de mel deve estar entre R$ 20,00 e R$ 80,00.