O PFC é a ideia base da Análise Combinatória: quando um processo acontece em etapas, o total de possibilidades é o produto das opções de cada etapa.

O que significa cada elemento?
\(n_1, n_2, \dots, n_k\) = quantidade de escolhas possíveis na 1ª, 2ª, …, k-ésima etapa.

O fatorial aparece quando contamos ordens e arranjos. Ele representa o produto de todos os naturais positivos até \(n\).

Elementos da fórmula:
\(n\) = número natural (quantidade de elementos).
Por convenção: \(1!=1\) e \(0!=1\).

Usamos arranjo simples quando escolhemos p elementos dentre n disponíveis, sem repetição e com ordem importando (ranking, pódio, senha sem repetir, cargos diferentes).

Elementos:
\(n\) = total de elementos disponíveis.
\(p\) = quantidade de elementos escolhidos (com ordem).

Usamos arranjo com repetição quando escolhemos p posições e, em cada posição, existem n opções, e a repetição é permitida (senha com repetição, cores repetidas, etc.).

Elementos:
\(n\) = número de opções em cada posição.
\(p\) = número de posições (tamanho do código/seqüência).

A permutação simples ocorre quando usamos todos os \(n\) elementos e queremos contar quantas ordens diferentes existem, sem repetição.

Elemento: \(n\) = total de elementos que serão ordenados.

Usamos permutação com repetição quando os elementos são ordenados, mas existem itens repetidos (letras repetidas em uma palavra, por exemplo). As repetições “reduzem” a contagem, por isso dividimos por fatoriais.

Elementos:
\(n\) = total de elementos.
\(n_1,n_2,\dots,n_k\) = quantidades repetidas de cada tipo.

Na permutação circular, os elementos são dispostos em círculo. Aqui, rotações não geram novas disposições (porque o círculo “gira” e fica igual). Por isso, fixamos um elemento e permutamos os outros.

Elemento: \(n\) = número de elementos no círculo.

A combinação simples é usada quando escolhemos \(p\) elementos dentre \(n\), sem repetição e com ordem NÃO importando (grupos, equipes, comissões).

Elementos:
\(n\) = total disponível.
\(p\) = quantidade escolhida.
O termo \(p!(n-p)!\) remove as contagens repetidas que acontecem quando a ordem é irrelevante.

A combinação com repetição aparece quando escolhemos \(p\) itens, mas agora a repetição é permitida e a ordem não importa (ex.: escolher bolas de sorvete, moedas de tipos diferentes, itens iguais).

Elementos:
\(n\) = quantidade de tipos disponíveis.
\(p\) = quantidade escolhida (com repetição permitida).
Usamos: \(\binom{n+p-1}{p}\).

• Análise Combinatória — Guia Completo
• Princípio Fundamental da Contagem
• Fatorial
• Arranjo Simples
• Arranjo com Repetição
• Permutação Simples
• Permutação com Repetição
• Permutação Circular
• Combinação Simples