Um retângulo tem área igual ao quadrado da metade de sua diagonal. A razão entre o lado maior e o lado menor é igual a:
(A) \(\frac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)
(B) \(\frac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\)
(C) \(2-\sqrt{3}\)
(D) \(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\)
(E) \(2+\sqrt{3}\)
Solução passo a passo:
Sejam \(x\) e \(y\) os lados do retângulo, com \(x \ge y\), e seja \(d\) a diagonal.
Pelo Teorema de Pitágoras:
\[ x^2 + y^2 = d^2 \]
Como a área é o quadrado da metade da diagonal:
\[ xy = \left(\frac{d}{2}\right)^2 = \frac{d^2}{4} \]
Usando a relação \((x-y)^2 = x^2 + y^2 – 2xy\), obtemos:
\[ (x-y)^2 = d^2 – 2 \cdot \frac{d^2}{4} = \frac{d^2}{2} \quad\Rightarrow\quad x – y = \frac{d}{\sqrt{2}} \]
Somando e subtraindo as equações, resolvemos para \(x\) e \(y\):
\[ y = \frac{d(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}}, \quad x = \frac{d(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{2}} \]
Logo, a razão entre o lado maior e o menor é:
\[ \frac{x}{y} = 2 + \sqrt{3} \]
Resposta: (E) \(2 + \sqrt{3}\)
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