Helena tem um cadeado cuja abertura depende de uma senha de 3 dígitos \( (x,y,z) \), formados por números inteiros de 0 a 9. Ela anota no cadeado um código \( (a,b,c) \), que não é a senha verdadeira. A senha correta é obtida pela seguinte relação:
\[ \begin{cases} x + y + z = a \\ x + z = b \\ y + z = c \end{cases} \]
a) Se o código anotado fosse (9,6,3), qual seria a senha do cadeado?
b) Se apenas os dois primeiros dígitos do código (6,2, ?) fossem visíveis,
quais são todas as possíveis senhas?
a) Código (9,6,3):
\[ \begin{cases} x + y + z = 9 \\ x + z = 6 \\ y + z = 3 \end{cases} \implies x = 6, \ y = 3, \ z = 0 \]
**Senha:** (6, 3, 0)
b) Código parcial (6,2, ?):
\[ \begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + z = 2 \end{cases} \] Da 2ª equação, \( y = 4 \).
Agora \( x + z = 2 \). Possibilidades para \( (x,z) \) considerando inteiros de 0 a 9:
- (0,2)
- (1,1)
- (2,0)
**Senhas possíveis:** (0,4,2), (1,4,1), (2,4,0)
Resposta Final: a) (6,3,0) b) (0,4,2), (1,4,1), (2,4,0)
