Considere a função: \[ f(x) = \frac{ax – 1}{2x + 3} \]
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a) Para \( a = 0 \), calcule \( f^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \).
b) Determine o(s) valor(es) de \( a \) para que \( f(f(1)) = 1 \).
a) Cálculo de \( f^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \) para \( a = 0 \):
Para \( a = 0 \): \[ f(x) = \frac{-1}{2x+3} \]
Resolvendo \( f(x) = \frac{3}{5} \): \[ -\frac{1}{2x+3} = \frac{3}{5} \implies 2x + 3 = -\frac{5}{3} \implies x = -\frac{7}{3} \]
Logo: \[ f^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{7}{3} \]
b) Determinando \( a \) para \( f(f(1)) = 1 \):
Primeiro, calcule \( f(1) \): \[ f(1) = \frac{a \cdot 1 – 1}{2 \cdot 1 + 3} = \frac{a-1}{5} \]
Agora, impondo a composição: \[ f(f(1)) = 1 \implies \frac{a \cdot \frac{a-1}{5} – 1}{2 \cdot \frac{a-1}{5} + 3} = 1 \]
Multiplicando cruzado e simplificando: \[ \frac{a^2 – a – 5}{5} = \frac{2a – 2 + 15}{5} \implies a^2 – 3a – 18 = 0 \]
Resolvendo a equação quadrática: \[ a = -3 \quad \text{ou} \quad a = 6 \]
Resposta Final: a) \( -\frac{7}{3} \) b) \( a = -3 \) ou \( a = 6 \)
