Determine a quantidade de matrizes \(5\times 5\) invertíveis e com entradas inteiras que satisfazem \(A^{-1}=A^{T}\).
👀 Solução passo a passo
Da igualdade vem \(A^{T}A=I_5\), isto é, \(A\) é ortogonal. Logo \(\det(A)^2=\det(I_5)=1\Rightarrow \det(A)=\pm 1\) (de fato já inteiro).
As colunas (e linhas) de \(A\) formam um conjunto ortonormal em \(\mathbb{R}^5\).
Se \(v=(v_1,\dots,v_5)\) é coluna de \(A\) com entradas inteiras e \(\|v\|^2=v_1^2+\cdots+v_5^2=1\), então exatamente um componente vale \(\pm 1\) e os demais são \(0\). Assim, cada coluna é do tipo vetor canônico assinado.
Como as colunas são ortogonais entre si, as posições do \( \pm 1 \) são todas distintas ⇒ as colunas são uma permutação dos vetores canônicos, com sinais independentes.
Escolhas de sinais: \(2^5\) possibilidades (cada coluna pode ter \(+1\) ou \(-1\)). Permutação das posições: \(5!\) maneiras.
\[ N = 2^{5}\cdot 5! = 32\cdot 120 = 3840. \]
