ITA 2024 — 2ª Fase — Questão 09 — Números Complexos
Seja \(z = 1 + ai\) uma raiz do polinômio \(p(x) = x^4 + 10x^2 + mx + 29\), onde \(a\) e \(m\) são números reais.
Determine a área do quadrilátero cujos vértices são as quatro raízes complexas de \(p(x)\) no plano de Argand-Gauss.
👀 Solução passo a passo
I) Identificando as raízes:
Se \(1 + ai\) é raiz, o conjugado \(1 – ai\) também é. Denotemos as raízes por \(1 + ai\), \(1 – ai\), \(\alpha\) e \(\beta\). Pelas relações de Girard: \[ (1 + ai) + (1 – ai) + \alpha + \beta = 2 + \alpha + \beta = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha + \beta = -2 \] \[ (1 + ai)(1 – ai) + (1 + ai)\beta + (1 – ai)\alpha + \alpha \beta = 29 \]II) Equações para \(a^2\) e \(\alpha \beta\):
Da simetria, temos: \[ (1 + a^2) + \alpha \beta = 14 \] O sistema: \[ t^2 – 14t + 29 = 0 \] fornece: \[ 1 + a^2 = 7 + 2\sqrt{5} \quad \text{e} \quad \alpha \beta = 7 – 2\sqrt{5} \] ou: \[ 1 + a^2 = 7 – 2\sqrt{5} \quad \text{e} \quad \alpha \beta = 7 + 2\sqrt{5} \]III) Caso \(1 + a^2 = 7 + 2\sqrt{5}\):
\[ a^2 = 6 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 1)^2 \] Logo: \[ a = \pm(1 + \sqrt{5}) \] Resolvendo para \(\alpha\) e \(\beta\): \[ \alpha, \beta = -1 \pm (1 – \sqrt{5})i \]IV) Coordenadas dos vértices:
\[ 1 \pm (1 + \sqrt{5})i, \quad -1 \pm (1 – \sqrt{5})i \]V) Área do quadrilátero:
Pela fórmula da base vezes altura: \[ A = \frac{(2 + 2\sqrt{5}) + (2\sqrt{5} – 2)}{2} \cdot 2 = 4\sqrt{5} \]
Se \(1 + ai\) é raiz, o conjugado \(1 – ai\) também é. Denotemos as raízes por \(1 + ai\), \(1 – ai\), \(\alpha\) e \(\beta\). Pelas relações de Girard: \[ (1 + ai) + (1 – ai) + \alpha + \beta = 2 + \alpha + \beta = 0 \quad \Rightarrow \quad \alpha + \beta = -2 \] \[ (1 + ai)(1 – ai) + (1 + ai)\beta + (1 – ai)\alpha + \alpha \beta = 29 \]II) Equações para \(a^2\) e \(\alpha \beta\):
Da simetria, temos: \[ (1 + a^2) + \alpha \beta = 14 \] O sistema: \[ t^2 – 14t + 29 = 0 \] fornece: \[ 1 + a^2 = 7 + 2\sqrt{5} \quad \text{e} \quad \alpha \beta = 7 – 2\sqrt{5} \] ou: \[ 1 + a^2 = 7 – 2\sqrt{5} \quad \text{e} \quad \alpha \beta = 7 + 2\sqrt{5} \]III) Caso \(1 + a^2 = 7 + 2\sqrt{5}\):
\[ a^2 = 6 + 2\sqrt{5} = (\sqrt{5} + 1)^2 \] Logo: \[ a = \pm(1 + \sqrt{5}) \] Resolvendo para \(\alpha\) e \(\beta\): \[ \alpha, \beta = -1 \pm (1 – \sqrt{5})i \]IV) Coordenadas dos vértices:
\[ 1 \pm (1 + \sqrt{5})i, \quad -1 \pm (1 – \sqrt{5})i \]V) Área do quadrilátero:
Pela fórmula da base vezes altura: \[ A = \frac{(2 + 2\sqrt{5}) + (2\sqrt{5} – 2)}{2} \cdot 2 = 4\sqrt{5} \]
Resposta: \(4\sqrt{5}\)
