ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 54 — Números Complexos / Triângulo Equilátero
Seja \(z\in\mathbb{C}\). Se a representação dos números \(4\), \(z+2\) e \(z^2\) no plano complexo são vértices de um triângulo equilátero, então o comprimento do seu lado é igual a:
a) \(3\)
b) \(\sqrt{10}\)
c) \(\sqrt{11}\)
d) \(2\sqrt{3}\)
e) \(\sqrt{13}\)
👀 Solução passo a passo
Translade o triângulo subtraindo \(4\) de todos os vértices. Obtemos um triângulo equilátero com vértices
\[
0,\quad u=z-2,\quad v=z^{2}-4.
\]
Em um equilátero com um vértice na origem vale \(v=u\cdot e^{\pm i\pi/3}\).
Logo,
\[
\frac{v}{u}=e^{\pm i\pi/3}
\quad\Rightarrow\quad
\frac{z^{2}-4}{\,z-2\,}=e^{\pm i\pi/3}.
\]
Como \(\dfrac{z^{2}-4}{z-2}=z+2\) (e \(z\neq 2\)), segue que
\[
z+2=e^{\pm i\pi/3}=\cos 60^\circ \pm i\sin 60^\circ=\frac12 \pm i\frac{\sqrt{3}}{2}.
\]
Portanto, \(z=\frac12-2\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3}{2}\pm i\frac{\sqrt{3}}{2}\).
O lado do triângulo é \(\ell=|u|=|z-2|\).
Usando \(z=e^{\pm i\pi/3}-2\),
\[
\ell=\left|e^{\pm i\pi/3}-4\right|
=\sqrt{\left(\frac12-4\right)^2+\left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}
=\sqrt{\frac{49}{4}+\frac{3}{4}}
=\sqrt{\frac{52}{4}}
=\sqrt{13}.
\]
Resposta: e) \(\sqrt{13}\).
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 53 — 1ª Fase
