ITA 2021 — 1ª Fase — Questão 53 — Contagem (distribuições com restrições)
Pretende-se distribuir \(48\) balas em \(4\) tigelas designadas pelas letras \(A,B,C,D\).
De quantas maneiras pode-se fazer essa distribuição de forma que todas as tigelas contenham
ao menos \(3\) balas e a tigela \(B\) contenha a mesma quantidade que a tigela \(D\)?
a) 190 b) 361 c) 722 d) 1083 e) 1444
👀 Solução passo a passo
Garanta o mínimo em cada tigela: coloque \(3\) balas em cada uma.
Restam \(48-4\cdot 3=36\) balas para distribuir. Seja \(a,b,c,d\) a quantidade
adicional de balas nas tigelas \(A,B,C,D\) (todas não negativas).
A condição “\(B\) igual a \(D\)” exige \(b=d\). Logo,
\[
a+b+c+d=36 \ \text{ e }\ b=d
\ \Longrightarrow\ a+c+2b=36
\ \Longrightarrow\ a+c=36-2b.
\]
Para cada \(b\in\{0,1,\ldots,18\}\), o número de soluções não negativas de
\(a+c=36-2b\) é \((36-2b)+1=37-2b\).
Portanto, o total é a soma de uma P.A. com \(19\) termos, primeiro \(37\) e último \(1\):
\[
N=\sum_{b=0}^{18}(37-2b)=\frac{(37+1)\cdot 19}{2}=\frac{38\cdot 19}{2}=361.
\]
Resposta: b) 361.
🔗 Veja também a questão anterior:
Matemática ITA 2021 — Questão 52 — 1ª Fase
