Definições e classificações

• Decimal exato (ou finito): possui número finito de casas decimais, ex.: \(0{,}75=\frac{3}{4}\).
• Decimal periódico: apresenta um período que se repete indefinidamente. Divide-se em:
  • Periódico puro: a repetição começa logo após a vírgula. Ex.: \(0{,}\overline{3}=0{,}333\ldots\).
  • Periódico misto: há uma parte não periódica seguida do período. Ex.: \(0{,}1\overline{6}=0{,}1666\ldots\).
• Decimal não periódico: sem padrão de repetição; é infinito e não se repete (irracional), ex.: \(\pi\), \(\sqrt{2}\).

Relação com conjuntos numéricos: decimais exatos e periódicos representam racionais; decimais não periódicos representam irracionais.

Notação com vírgula e “vínculo” (barra)

No Brasil, usa-se vírgula decimal. Para indicar repetição, usa-se o vínculo (uma barra acima):

• \(0{,}\overline{27}=0{,}272727\ldots\) (período “27”)
• \(1{,}2\overline{3}=1{,}2333\ldots\) (misto: “2” é parte não periódica; “3” o período)

Em editores sem recurso de barra, escreva com parênteses: 0,(27) ou 1,2(3).

Converter fração → decimal

Passo a passo

1. Escreva a fração na forma irredutível \( \frac{p}{q} \).
2. Se \(q\) tem apenas fatores 2 e/ou 5 na fatoração prima, o decimal é exato.
3. Se \(q\) tem outros primos (3, 7, 11, …), o decimal será periódico (puro ou misto).

Dica: para obter as casas, faça a divisão longa (ou use aritmética modular para identificar o período).

Converter decimal periódico → fração

Periódico puro

Se \(x=0{,}\overline{a_1a_2\ldots a_k}\) (período com \(k\) dígitos), então:

Exemplo: \(x=0{,}\overline{27}\Rightarrow x=\dfrac{27}{99}=\dfrac{3}{11}\).

Periódico misto

Se \(x=\) parte não periódica + período (com \(t\) dígitos não periódicos e \(k\) dígitos de período), use:

Exemplo: \(x=0{,}1\overline{6}\). Pegue “16” (até o fim do 1º período) e subtraia “1” (parte não periódica):

Versão algébrica geral

Se \(x=1{,}2\overline{34}\): seja \(k=2\) (período “34”) e \(t=1\) (uma casa não periódica “2”).

Logo, \(10^3x-10^1x=1234-12=1222 \Rightarrow 990x=1222\Rightarrow x=\frac{1222}{990}=\frac{611}{495}.\)

Casos clássicos: \(0{,}9\overline{9}=1\)

Se \(x=0{,}\overline{9}\), então \(10x=9{,}\overline{9}\). Subtraindo: \(10x-x=9\Rightarrow 9x=9\Rightarrow x=1\). Assim, \(0{,}\overline{9}=1\).

Intuição: o decimal \(0{,}\overline{9}\) é a soma de uma PG: \(0{,}9+0{,}09+0{,}009+\cdots= \frac{0{,}9}{1-0{,}1}=1\).

Exemplos resolvidos

Exercícios propostos

1. Classifique: \(0{,}125\), \(0{,}\overline{7}\), \(0{,}3\overline{6}\), \(0{,}120120012\ldots\).
2. Converta em fração: \(0{,}\overline{4}\); \(0{,}\overline{142}\).
3. Converta em fração: \(0{,}2\overline{3}\); \(1{,}08\overline{54}\).
4. Escreva em decimal: \(\frac{11}{80}\); \(\frac{13}{6}\).
5. Mostre, por método algébrico, que \(0{,}\overline{9}=1\).
6. Se \(x=0{,}\overline{012}\), determine \(x\) como fração irredutível.
7. Prove que toda fração irredutível \(\frac{p}{q}\) com \(\gcd(q,10)=1\) gera decimal periódico puro.
8. Qual é o período de \(\frac{1}{27}\)? (Dica: use aritmética modular ou divisão longa.)
9. Escreva \(2{,}0\overline{09}\) como fração.
10. Determine a parte inteira e a parte periódica de \(x=\frac{47}{22}\) e escreva \(x\) na forma decimal.

Resumo e materiais

• ✔ Periodicidade ⇔ número racional (não exato)
• ✔ Fórmulas: puro \(= \frac{\text{período}}{9\ldots9}\); misto \(= \frac{\text{até o 1º período} – \text{não periódica}}{99\ldots900\ldots0}\)
• ✔ Casos clássicos: \(0{,}\overline{9}=1\)
• ✔ Exemplos e lista de exercícios com gabarito