Calcular a distância entre dois pontos no plano cartesiano é um daqueles conteúdos que parecem simples, mas que muita gente erra por detalhe: esquece um sinal, não eleva ao quadrado ou soma os valores de forma equivocada.
Neste artigo, vamos revisar a fórmula da distância, entender de onde ela vem e resolver a questão da imagem passo a passo. No final, você não vai mais confundir esse tipo de exercício – seja em prova, ENEM, vestibular ou concurso.
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🧠 Enunciado da questão
No plano cartesiano, determine a distância entre os pontos:
\(A(2,3)\) e \(B(8,6)\).
Alternativas:
- A) \(4\)
- B) \(\sqrt{10}\)
- C) \(\sqrt{45}\)
- D) \(\sqrt{40}\)
📐 Fórmula da distância entre dois pontos
Dados dois pontos \(A(x_A, y_A)\) e \(B(x_B, y_B)\), a distância entre eles é dada por:
\(d(A,B) = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
Essa fórmula vem diretamente do Teorema de Pitágoras: o segmento que liga \(A\) a \(B\) é a hipotenusa de um triângulo retângulo formado pelas projeções horizontais e verticais entre os pontos.
📌 Resolução passo a passo
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1️⃣ Identificando as coordenadas
Da questão, temos:
- Ponto \(A(2,3)\): \(x_A = 2\), \(y_A = 3\)
- Ponto \(B(8,6)\): \(x_B = 8\), \(y_B = 6\)
2️⃣ Aplicando a fórmula da distância
Usamos:
\(d(A,B) = \sqrt{(x_B – x_A)^2 + (y_B – y_A)^2}\)
Substituindo os valores:
\(d(A,B) = \sqrt{(8 – 2)^2 + (6 – 3)^2}\)
\(d(A,B) = \sqrt{6^2 + 3^2}\)
\(d(A,B) = \sqrt{36 + 9}\)
\(d(A,B) = \sqrt{45}\)
3️⃣ Simplificando (opcional)
Podemos simplificar \(\sqrt{45}\) usando fatoração:
\(45 = 9 \cdot 5 \Rightarrow \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\)
Porém, nas alternativas da questão já aparece \(\sqrt{45}\), por isso não é obrigatório simplificar para marcar a alternativa correta.
🎯 Conferindo com as alternativas
O valor encontrado foi \(\sqrt{45}\), que corresponde à alternativa:
✅ C) \(\sqrt{45}\).
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