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Porcentagem

Porcentagem — Guia Prático e Completo

A porcentagem expressa “partes de cem” e aparece em descontos, reajustes, estatísticas e finanças. Para uma base sólida, revise os conjuntos numéricos e as operações numéricas. Em muitos contextos, ler porcentagens como frações simplifica as contas. Para cálculo mental e divisibilidade, veja múltiplos e divisores. A organização das contas segue as expressões numéricas. Já grandezas extremas podem ser tratadas com notação científica. Em taxas sucessivas, a ideia se conecta a potenciação e radiciação.

Definições básicas
\[ p\%=\frac{p}{100},\qquad \text{Porção}=\text{Taxa}\times\text{Base}=\Big(\frac{p}{100}\Big)\cdot B. \] Base é o todo de referência; Taxa é a porcentagem; Porção é a parte correspondente.

Propriedades e fórmulas úteis (com exemplos resolvidos)

1. Porção, Base, Taxa

Fórmulas
\[ \text{Porção}=p\%\cdot B,\qquad B=\frac{\text{Porção}}{p\%},\qquad p\%=\frac{\text{Porção}}{B}\cdot100\%. \]
  1. PBT-1. Calcule \(18\%\) de \(250\).
    Solução
    \(0{,}18\cdot250=45\).
  2. PBT-2. Se \(36\) é \(20\%\) de \(B\), encontre \(B\).
    Solução
    \(B=\dfrac{36}{0{,}20}=180\).

2. Aumento

Fórmula
\[ \text{Novo}=B(1+t),\qquad t=\frac{p}{100}\ (\text{p em }\%). \]
  1. AU-1. Preço \(\text{R\$}\,200\) com aumento de \(12\%\).
    Solução
    \(\text{Novo}=200\cdot1{,}12=\text{R\$}\,224{,}00.\)
  2. AU-2. Salário \(\text{R\$}\,1\,500\) com aumento de \(8\%\).
    Solução
    \(\text{Novo}=1\,500\cdot1{,}08=\text{R\$}\,1\,620{,}00.\)

3. Desconto

Fórmula
\[ \text{Novo}=B(1-t),\qquad t=\frac{p}{100}. \]
  1. DE-1. Desconto de \(15\%\) sobre \(80\).
    Solução
    \(80\cdot(1-0{,}15)=68\).
  2. DE-2. Desconto de \(30\%\) sobre \(\text{R\$}\,120\).
    Solução
    \(\text{Novo}=120\cdot0{,}70=\text{R\$}\,84{,}00.\)

4. Variação percentual

Fórmula
\[ \Delta\%=\frac{\text{Novo}-\text{Antigo}}{\text{Antigo}}\cdot100\%. \]
  1. VP-1. De \(240\) para \(300\).
    Solução
    \(\dfrac{300-240}{240}\cdot100\%=25\%\).
  2. VP-2. De \(520\) para \(494\).
    Solução
    \(\dfrac{494-520}{520}\cdot100\%=-5\%\).

5. Sucessivas (acúmulo)

Fórmula
\[ \text{Fator total}=(1+t_1)(1+t_2)\cdots(1+t_n). \]
  1. SUC-1. \(+10\%\) e depois \(+5\%\) em \(150\).
    Solução
    \(150\cdot1{,}10\cdot1{,}05=173{,}25\) (\(+15{,}5\%\)).
  2. SUC-2. \(-20\%\) e depois \(+20\%\) em \(250\).
    Solução
    \(250\cdot0{,}8\cdot1{,}2=240\) (queda líquida \(4\%\)).

6. Reversão (voltar ao valor)

Fórmula
\[ \text{Se caiu }d:\ (1+r)=\frac{1}{1-d}\ \Rightarrow\ r=\frac{1}{1-d}-1. \]
  1. REV-1. Queda de \(20\%\). Qual reajuste compensa?
    Solução
    \(r=\dfrac{1}{1-0{,}20}-1=0{,}25=25\%\).
  2. REV-2. Queda de \(30\%\). Qual alta devolve ao valor inicial?
    Solução
    \(r=\dfrac{1}{1-0{,}30}-1=\dfrac{1}{0{,}70}-1\approx0{,}4286\Rightarrow42{,}86\%\).

Exemplos resolvidos (gerais)

  1. E1. \(18\%\) de \(250\).
    Solução
    \(0{,}18\cdot250=45\).
  2. E2. Produto de \(\text{R\$}\,200\) com 12% de desconto.
    Solução
    \(\text{Novo}=200(1-0{,}12)=\text{R\$}\,176{,}00.\)
  3. E3. Aumentos de 10% e 5% sobre \(150\).
    Solução
    \(150\cdot1{,}10\cdot1{,}05=173{,}25\) (\(+15{,}5\%\)).
  4. E4. Cai \(20\%\) e sobe \(20\%\). Volta?
    Solução
    \(0{,}8\cdot1{,}2=0{,}96\Rightarrow\) queda líquida de \(4\%\).
  5. E5. Conta de luz \(\text{R\$}\,230\): reajuste \(8\%\) e, depois, desconto \(5\%\).
    Solução
    \(\text{R\$}\,230\cdot1{,}08\cdot0{,}95=\text{R\$}\,235{,}98\) (aprox.).
  6. E6. Variação de \(520\) para \(494\).
    Solução
    \(\dfrac{494-520}{520}\cdot100\%=-5\%\).

🧠 Exercícios Propostos

Resolva e depois confira no gabarito (clique para abrir). Use técnicas de operações numéricas e a organização típica de expressões numéricas.

2.1 Cálculo direto

  1. \(18\%\) de \(250\)
  2. \(7{,}5\%\) de \(320\)
  3. \(0{,}5\%\) de \(1\,200\)
  4. \(2\%\) de \(1\,500\)
  5. \(35\%\) de \(280\)
  6. \(125\%\) de \(96\)
  7. \(12{,}5\%\) de \(640\)
  8. \(0{,}2\%\) de \(50\,000\)

2.2 Aumento, desconto e sucessivas

  1. Aumente em \(15\%\): \(80\)
  2. Desconte \(12\%\): \(200\)
  3. Dois aumentos (\(10\%\) e \(5\%\)) sobre \(150\)
  4. Desconto de \(20\%\) e depois aumento de \(20\%\) sobre \(250\)
  5. Após aumento de \(25\%\), o preço é \(\text{R\$}\,187{,}50\). Qual era a base?
  6. Após desconto de \(30\%\), o preço é \(\text{R\$}\,84{,}00\). Qual era a base?
  7. De \(240\) para \(300\): qual o aumento percentual?
  8. De \(520\) para \(494\): qual o desconto percentual?

2.3 Base, taxa e porção

  1. Se \(20\%\) de \(B\) é \(36\), calcule \(B\).
  2. De \(480\) para \(528\): qual a taxa de aumento?
  3. De \(850\) para \(722{,}50\): qual a taxa de desconto?
  4. Se \(12\%\) de \(x\) é \(27\), encontre \(x\).
  5. \(40\) é que porcentagem de \(160\)?
  6. \(18\) é que porcentagem de \(750\)?

2.4 Situações

  1. Conta de luz de \(\text{R\$}\,230\): reajuste \(8\%\) e, depois, desconto \(5\%\). Valor a pagar?
  2. Saldo de \(\text{R\$}\,1\,200\) rende \(1{,}4\%\) ao mês por \(3\) meses (capitalização mensal). Saldo final?
  3. Produto com \(25\%\) de desconto passou a custar \(\text{R\$}\,299{,}00\). Preço original?
  4. Em um orçamento de \(\text{R\$}\,800\), o transporte custa \(\text{R\$}\,62\). Qual a porcentagem do orçamento?

📘 Gabarito (clique para abrir cada bloco)

Gabarito — 2.1
  1. 45
  2. 24
  3. 6
  4. 30
  5. 98
  6. 120
  7. 80
  8. 100
Gabarito — 2.2
  1. \(80\cdot1{,}15=92\)
  2. \(200\cdot0{,}88=176\)
  3. \(150\cdot1{,}10\cdot1{,}05=173{,}25\)
  4. \(250\cdot0{,}8\cdot1{,}2=240\)
  5. \(\text{Base}=187{,}50/1{,}25=150\)
  6. \(\text{Base}=84/0{,}70=120\)
  7. \(\dfrac{300-240}{240}\cdot100\%=25\%\)
  8. \(\dfrac{494-520}{520}\cdot100\%=-5\%\)
Gabarito — 2.3
  1. \(B=36/0{,}20=180\)
  2. \(\dfrac{528-480}{480}=0{,}10\Rightarrow 10\%\)
  3. \(\dfrac{722{,}50-850}{850}=-0{,}15\Rightarrow 15\%\ \text{de desconto}\)
  4. \(x=27/0{,}12=225\)
  5. \(\dfrac{40}{160}\cdot100\%=25\%\)
  6. \(\dfrac{18}{750}\cdot100\%=2{,}4\%\)
Gabarito — 2.4
  1. \(\text{R\$}\,230\cdot1{,}08\cdot0{,}95=\text{R\$}\,235{,}98\)
  2. \(\text{R\$}\,1\,200\cdot(1{,}014)^3\approx \text{R\$}\,1\,251{,}11\)
  3. \(\text{Base}=\dfrac{299}{0{,}75}\approx \text{R\$}\,398{,}67\)
  4. \(\dfrac{62}{800}\cdot100\%=7{,}75\%\)

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Porcentagem — Seleção de Problemas Interativos

Marque uma alternativa em cada problema e clique em Verificar. Abra a solução passo a passo quando quiser.

1) Descontos equivalentes

Qual desconto único é equivalente a dois descontos sucessivos de 10% e 15%?

Ver solução passo a passo
Fator: \(0{,}90\cdot0{,}85=0{,}765\Rightarrow\) desconto equivalente \(=1-0{,}765=0{,}235=23{,}5\%\).

2) Queda e recuperação

Um preço caiu 20%. Qual aumento percentual precisa depois para voltar ao valor inicial?

Ver solução passo a passo
Caiu para \(0{,}80\cdot B\). Para voltar: \((1+r)\cdot0{,}80=1\Rightarrow 1+r=\frac{1}{0{,}80}=1{,}25\Rightarrow r=25\%\).

3) Desconto, imposto e cashback

Preço de etiqueta R$ 500. Desconto de 10%, imposto de 12% sobre o valor com desconto e cashback de 5% sobre o valor pago. Qual o desembolso líquido?

Ver solução passo a passo
Desconto: \(500\cdot0{,}90=450\).
Imposto: \(450\cdot1{,}12=504\).
Cashback: \(0{,}05\cdot504=25{,}20\).
Desembolso: \(504-25{,}20=478{,}80\).

4) Mistura de soluções

Deseja-se 3 L de suco a 30% misturando soluções de 20% e 40%. Quantos litros da solução de 40% usar?

Ver solução passo a passo
Seja \(x\) o volume de 20% e \(3-x\) o de 40%: \(0{,}2x+0{,}4(3-x)=0{,}9\Rightarrow -0{,}2x= -0{,}3\Rightarrow x=1{,}5\).
Logo, \(3-x=1{,}5\) L de 40%.

5) Pesquisa eleitoral

O candidato A tinha 48% das intenções. Após um aumento relativo de 12,5%, qual é a nova porcentagem?

Ver solução passo a passo
\(48\cdot1{,}125=54\). Aumento absoluto de \(6\) pontos percentuais.

6) Margem sobre o preço de venda

Um item custa R$ 80 e será vendido com margem de 25% sobre o preço de venda. Qual deve ser o preço?

Ver solução passo a passo
Se \(PV\) é o preço, lucro \(=0{,}25\cdot PV\).
\(PV=\text{custo}+lucro=80+0{,}25PV\Rightarrow 0{,}75PV=80\Rightarrow PV=\frac{80}{0{,}75}\approx 106{,}67\).

7) Crescimento populacional

Uma cidade tem 20.000 habitantes e cresce 3% ao ano. Em 5 anos, a população será aproximadamente:

Ver solução passo a passo
\(20\,000\cdot(1{,}03)^5\approx 20\,000\cdot1{,}159274\approx 23\,185\).

8) Parte de uma parte

Em uma escola, 30% dos alunos são meninas e 40% das meninas usam óculos. Qual porcentagem do total de alunos usa óculos?

Ver solução passo a passo
\(0{,}30\cdot0{,}40=0{,}12\Rightarrow 12\%\).

9) Média ponderada

Média final com Prova 1 (peso 40%) nota 7,5 e Prova 2 (peso 60%) nota 8,4:

Ver solução passo a passo
\(0{,}4\cdot7{,}5+0{,}6\cdot8{,}4=3{,}0+5{,}04=8{,}04\).

10) Descobrir um dos descontos

Dois descontos sucessivos \(x\%\) e 20% resultam em desconto total de 30%. Qual é \(x\%\)?

Ver solução passo a passo
\(1-(1-\tfrac{x}{100})(1-0{,}20)=0{,}30\Rightarrow 1-0{,}8(1-\tfrac{x}{100})=0{,}30\Rightarrow 0{,}8(1-\tfrac{x}{100})=0{,}70\Rightarrow 1-\tfrac{x}{100}=0{,}875\Rightarrow x=12{,}5\%\).
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Adriano Rocha

Sou Adriano Rocha, professor de Matemática com mestrado e especialização em Resolução de Problemas, além de expertise em concursos públicos. Leciono no Colégio Estadual Mimoso do Oeste e utilizo metodologias inovadoras para aprimorar a compreensão matemática e a resolução de problemas. Produzo conteúdos como artigos para blogs, livros, eBooks e mapas mentais, além de desenvolver materiais didáticos e participar de eventos acadêmicos, sempre com o objetivo de contribuir para o ensino e aprendizagem da Matemática.

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