Exercício Esfera – 15 situações-problema (múltipla escolha)
Pratique de forma progressiva os principais tópicos da Esfera (área, volume, calota, zona, setor, casca, escalonamento e Geometria Analítica). Para revisão rápida do conjunto dos corpos redondos, veja também Cilindro e Cone.
Convenções: \(r\) = raio, \(d=2r\) = diâmetro, \(A\) = área, \(V\) = volume, \(\pi\approx3{,}1416\). Nas soluções, arredondamos quando necessário.
Nível básico 1–5
1) Pintura de bola de playground
Uma bola esférica de borracha tem raio 9 cm e será pintada por completo. O pintor cobra R$ 0,04 por cm² de área pintada. Qual será o custo total?
- R$ 36,00
- R$ 40,60
- R$ 45,00
- R$ 32,00
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Área da superfície: \(A=4\pi r^2=4\pi\cdot9^2=324\pi\approx 1\,017{,}88\ \text{cm}^2\).
Custo \(\approx 0{,}04\cdot1\,017{,}88 = \mathbf{R\$\,40{,}72}\) (alternativa mais próxima: R$ 40,60).
2) Vaso decorativo
Um vaso esférico maciço tem diâmetro 14 cm. Qual é o volume (em cm³) da peça?
- 1 308
- 1 385
- 1 436,8
- 1 520
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\(r=7\). \(V=\frac{4}{3}\pi r^3=\frac{4}{3}\pi\cdot343=\frac{1372}{3}\pi\approx \mathbf{1\,436{,}76\ \text{cm}^3}\).
3) Fusão de bolinhas de gude
Derretem-se 8 bolinhas idênticas, cada uma com raio 2 cm, para moldar uma única esfera. Qual será o raio da nova esfera?
- 3 cm
- 4 cm
- 5 cm
- 6 cm
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Conserva volume: \(8\cdot\frac{4}{3}\pi 2^3=\frac{4}{3}\pi R^3\Rightarrow R^3=64\Rightarrow \mathbf{R=4\ \text{cm}}\).
4) Enfeite dentro de um cubo
Um cubo acrílico de aresta 12 cm contém uma esfera inscrita (encosta nas seis faces). Qual é o volume da esfera (cm³)?
- 848
- 905
- 960
- 1 008
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\(r=6\). \(V=\frac{4}{3}\pi 6^3=\frac{4}{3}\pi\cdot216=288\pi\approx \mathbf{904{,}78\ \text{cm}^3}\) (≈ 905).
5) Esfera que envolve um cubo
Um cubo de aresta 6 cm está circunscrito por uma esfera (a esfera passa por todos os vértices). Qual é a área da superfície dessa esfera (cm²)?
- 314,2
- 339,3
- 360,0
- 380,0
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Raio \(R=\frac{\sqrt3}{2}a=3\sqrt3\). Área \(A=4\pi R^2=4\pi\cdot27=108\pi\approx \mathbf{339{,}29\ \text{cm}^2}\).
Nível intermediário 6–10
6) Tampa esférica (calota)
De uma esfera de raio 12 cm, recorta-se uma calota de altura 3 cm para formar a “tampa” de um reservatório. Selecione a opção correta para (área da tampa; volume da tampa).
- (226 cm²; 311 cm³)
- (188 cm²; 290 cm³)
- (226 cm²; 280 cm³)
- (240 cm²; 330 cm³)
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Calota: \(A=2\pi Rh=2\pi\cdot12\cdot3=72\pi\approx \mathbf{226{,}19\ \text{cm}^2}\).
\(V=\frac{\pi h^2(3R-h)}{3}=\frac{\pi\cdot9(36-3)}{3}=99\pi\approx \mathbf{311{,}02\ \text{cm}^3}\). → (226; 311).
7) Faixa pintada (zona esférica)
Em uma esfera de raio 10 cm, pinta-se uma faixa de altura 4 cm ao redor do “equador”. Qual é a área pintada?
- 201,1 cm²
- 226,2 cm²
- 251,3 cm²
- 282,7 cm²
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Zona: \(A=2\pi Rh=2\pi\cdot10\cdot4=80\pi\approx \mathbf{251{,}33\ \text{cm}^2}\).
8) “Fatia” da esfera (setor esférico)
Para um domo, usa-se um setor esférico de uma esfera de raio 6 cm associado a uma zona de altura 4 cm. Qual é o volume do setor (cm³)?
- 226,2
- 301,6
- 314,2
- 339,3
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\(V=\frac{2\pi R^2 h}{3}=\frac{2\pi\cdot36\cdot4}{3}=96\pi\approx \mathbf{301{,}59\ \text{cm}^3}\).
9) Casca de sabão
Uma película deixou uma casca esférica de espessura uniforme. O raio externo é 5 cm e o interno 4 cm. Qual o volume de material da casca?
- 201,1 cm³
- 230,9 cm³
- 255,5 cm³
- 282,7 cm³
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\(V=\frac{4}{3}\pi(R^3-r^3)=\frac{4}{3}\pi(125-64)=\frac{244}{3}\pi\approx \mathbf{255{,}53\ \text{cm}^3}\).
10) Massa de esfera metálica
Uma esfera de aço tem raio 4 cm. Sendo a densidade do aço 7,8 g/cm³, qual é a massa aproximada?
- 1,85 kg
- 2,09 kg
- 2,35 kg
- 2,55 kg
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Volume \(=\frac{4}{3}\pi 4^3=\frac{256}{3}\pi\approx 268{,}08\ \text{cm}^3\).
Massa \(=7{,}8\cdot268{,}08\approx \mathbf{2\,091\ \text{g}}= \mathbf{2{,}09\ \text{kg}}\).
Nível avançado 11–15
11) Reprojeto com escala
Um fabricante aumentará em 25% o raio de uma esfera para melhorar a resistência. Em quantos por cento o volume aumentará?
- 56,25%
- 95,31%
- 125,00%
- 144,00%
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Fator linear \(k=1{,}25\). Volume escala \(k^3=1{,}953125\). Aumento \(=95{,}3125\%\approx \mathbf{95{,}31\%}\).
12) Espaço vazio numa vitrine
Uma vitrine cúbica de 30 cm comporta uma esfera inscrita. Qual é o volume de ar (espaço vazio) entre o cubo e a esfera?
- 12 000 cm³
- 12 863 cm³
- 13 500 cm³
- 14 000 cm³
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Cubo: \(V_c=30^3=27\,000\). Esfera: \(r=15\Rightarrow V_s=\frac{4}{3}\pi 15^3=4\,500\pi\approx 14\,137{,}17\). Diferença \(=27\,000-14\,137{,}17\approx \mathbf{12\,862{,}83\ \text{cm}^3}\) (≈ 12 863).
13) “Anel de guardanapo” (problema clássico)
Perfurou-se uma esfera com um furo cilíndrico axial formando um anel cuja altura total é 10 cm. Mostre que o volume do anel depende apenas dessa altura e determine-o.
- 523,6 cm³
- 565,5 cm³
- 600,0 cm³
- 628,3 cm³
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Teorema do anel: \(V\) depende só da altura \(h\) e é igual ao volume de uma esfera de raio \(h/2\).
\(V=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{10}{2}\right)^3=\frac{4}{3}\pi\cdot125=\mathbf{523{,}60\ \text{cm}^3}\).
14) Centro e raio pela equação
A esfera é dada por \(x^2+y^2+z^2-4x+6y-2z-11=0\). Qual é o raio?
- 3
- 4
- 5
- 6
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Completar quadrados: \((x-2)^2+(y+3)^2+(z-1)^2=25\Rightarrow \mathbf{r=5}\).
15) Mistura de esferas de vidro
Duas esferas maciças de vidro, com raios 5 cm e 8 cm, são fundidas para formar uma única esfera. Qual é o raio da esfera resultante?
- 7,50 cm
- 8,60 cm
- 9,00 cm
- 10,00 cm
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Conserva volume: \(\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi(5^3+8^3)=\frac{4}{3}\pi\cdot637\Rightarrow R^3=637\Rightarrow \mathbf{R\approx8{,}60\ \text{cm}}\).
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