Fórmula do Volume do Cilindro
O cilindro circular é um dos corpos redondos mais presentes no cotidiano (latas, tubos, tanques). Seu volume mede “quanto cabe” dentro do sólido.
Notação usada: \(r\) é o raio da base (raio do círculo da base); \(h\) é a altura do cilindro (distância perpendicular entre os planos das bases). Estas letras são mantidas em todo o artigo.
A fórmula, de forma direta
\(\displaystyle V=\pi r^2 h\)
Leitura: “área da base” \((\pi r^2)\) multiplicada pela “altura” \((h)\). Se \(r\) e \(h\) estiverem em centímetros, \(V\) sai em cm³. Conversões: 1 cm³ = 1 mL; 1 L = 1 000 cm³; 1 m³ = 1 000 L.
Para ver áreas (lateral e total) e planificação, confira o artigo Cilindro – elementos e fórmulas. Para comparar com outros sólidos, veja cone e esfera.
Por que \(V=\pi r^2 h\) funciona?
- Prisma de base circular: todo prisma reto tem \(V=A_{\text{base}}\cdot h\). O cilindro é um “prisma” cuja base é um círculo de área \(\pi r^2\). Logo \(V=\pi r^2 h\).
- Princípio de Cavalieri: se dois sólidos têm a mesma altura e cortes paralelos de mesma área em todos os níveis, têm o mesmo volume. No cilindro, os cortes paralelos à base são círculos sempre com área \(\pi r^2\).
- Cilindro oblíquo: mesmo quando o eixo é inclinado, o volume continua \(\pi r^2 h\) (a base e a altura perpendicular aos planos das bases não mudam).
Dicas, unidades e comparações
- Diâmetro dado? Se o enunciado trouxer o diâmetro \(d\), então \(r=d/2\).
- Escala: se \(r\to k r\) e \(h\to k h\), então \(V\to k^3 V\) (volume cresce com o cubo da escala).
- Comparação com o cone: com mesma base e mesma altura, \(V_{\text{cil}}=3\,V_{\text{cone}}\) (veja cone).
- Tubo (oco): quando há furo coaxial, use \(V=\pi (R^2-r^2)h\), onde \(R\) é o raio externo e \(r\) o interno.
Exemplos resolvidos
Exemplo 1 – Capacidade de uma lata. Uma lata cilíndrica tem raio da base \(r=4\) cm e altura \(h=10\) cm. Qual é a capacidade em litros?
Ver solução
\(V=\pi r^2h=\pi\cdot4^2\cdot10=160\pi\approx 502{,}65\ \text{cm}^3= \mathbf{0{,}503\ L}\).
Exemplo 2 – Encontrar o raio a partir do volume. Um frasco cilíndrico deve ter \(V=2\) L (2 000 cm³) e altura \(h=20\) cm. Determine o raio \(r\).
Ver solução
\(r=\sqrt{\dfrac{V}{\pi h}}=\sqrt{\dfrac{2000}{20\pi}}=\sqrt{\dfrac{100}{\pi}}\approx \mathbf{5{,}64\ \text{cm}}\).
Exemplo 3 – Tubo (cilindro oco). Um tubo possui raio externo \(R=6\) cm, raio interno \(r=5\) cm e altura \(h=10\) cm. Calcule o volume de metal.
Ver solução
\(V=\pi(R^2-r^2)h=\pi(36-25)\cdot10=110\pi\approx \mathbf{345{,}6\ \text{cm}^3}\).
Exemplo 4 – Alterações percentuais. Uma lata teve \(r\) aumentado em 10% e \(h\) em 5%. De quanto o volume aumenta?
Ver solução
Fator volumétrico \(=1{,}10^2\cdot1{,}05=1{,}2715\). Aumento relativo \(= \mathbf{27{,}15\%}\).
Pratique (múltipla escolha com solução)
Em todos os itens: \(r\) é o raio da base; \(h\) é a altura. Use \(\pi\approx3{,}1416\) nas aproximações.
1) Uma lata tem \(r=3{,}2\) cm e \(h=12\) cm. Qual é a capacidade em litros?
- 0,315
- 0,352
- 0,386
- 0,402
Solução
\(V=\pi r^2h=\pi\cdot(3{,}2)^2\cdot12=122{,}88\pi\approx \mathbf{0{,}386\ L}\) → C.
2) Embalagem com diâmetro 10 cm (logo \(r=5\) cm) e altura \(h=15\) cm. Volume em litros?
- 0,945
- 1,050
- 1,178
- 1,256
Solução
\(V=\pi\cdot25\cdot15=375\pi\approx 1178\ \text{cm}^3= \mathbf{1{,}178\ L}\) → C.
3) Um frasco deve ter \(V=0{,}75\) L (= 750 cm³) e \(r=3\) cm. Qual deve ser a altura \(h\) (em cm)?
- 22,0
- 24,5
- 26,5
- 28,0
Solução
\(h=\frac{750}{\pi\cdot9}= \mathbf{26{,}53}\) cm → C.
4) Dois cilindros têm o mesmo volume. A: \(r=4\) cm, \(h=10\) cm. B: \(r=5\) cm, \(h=?\). Encontre \(h\) de B.
- 5,6
- 6,0
- 6,4
- 6,8
Solução
Iguale volumes: \(160\pi=25\pi\,h\Rightarrow h=\mathbf{6{,}4}\) cm → C.
5) Cilindro oblíquo com \(r=6\) cm e \(h=10\) cm. Qual o volume (em litros)?
- 1,047
- 1,131
- 1,210
- 1,309
Solução
\(V=\pi r^2h=360\pi\ \text{cm}^3\approx \mathbf{1{,}131\ L}\) → B.
6) Reservatório com \(r=0{,}5\) m e \(h=1{,}8\) m está 60% cheio. Volume de água (litros)?
- 785
- 848
- 942
- 1 047
Solução
Total \(=\pi\cdot0{,}25\cdot1{,}8=0{,}45\pi\ \text{m}^3\approx 1414\ \text{L}\). 60% → \(\mathbf{848}\ \text{L}\) → B.
7) Tubo com \(R=8\) cm, \(r=6\) cm e \(h=25\) cm. Volume de metal (litros)?
- 1,885
- 2,000
- 2,199
- 2,314
Solução
\(V=\pi(64-36)\cdot25=700\pi\approx \mathbf{2{,}199\ L}\) → C.
8) Um rótulo retangular de largura 25 cm (igual à circunferência da base) e altura 20 cm envolve a lata. Encontre a capacidade (L).
- 0,905
- 0,955
- 0,995
- 1,050
Solução
\(r=25/(2\pi)\approx3{,}979\). \(V=\pi r^2h\approx 316{,}8\pi\approx \mathbf{0{,}995\ L}\) → C.
9) Um redesign aumenta \(r\) e \(h\) em 30%. Em quanto o volume aumenta?
- 96,9%
- 100%
- 119,7%
- 130%
Solução
Fator \(=1{,}3^3=2{,}197\). Aumento \(=119{,}7\%\) → C.
10) Misturam-se os conteúdos de A: \(r=3\) cm, \(h=12\) cm, e B: \(r=4\) cm, \(h=8\) cm, em C de raio \(r=5\) cm. Qual a altura do líquido em C (cm)?
- 8,8
- 9,4
- 10,0
- 10,6
Solução
Volume total \(=108\pi+128\pi=236\pi\). \(h=\frac{236\pi}{25\pi}=\mathbf{9{,}44}\) cm → B.
