Sistemas lineares escalonados
Neste guia você aprende o que é um sistema linear escalonado, como chegar a essa forma com a eliminação de Gauss e como resolver por retrosubstituição. O tema aparece frequentemente no ENEM e em vestibulares. Para revisar bases de sistemas, veja também: classificação (SPD, SI, SPI), sistemas m × n e equação linear.
- Todos os coeficientes abaixo de cada pivô são nulos.
- O pivô (primeiro coeficiente não nulo de uma linha) aparece cada vez mais à direita ao descer as linhas.
- Linhas totalmente nulas ficam abaixo das não nulas.
- Trocar duas linhas \(L_i \leftrightarrow L_j\);
- Multiplicar uma linha por \(\lambda\neq0\): \(L_i \leftarrow \lambda L_i\);
- Somar a uma linha um múltiplo de outra: \(L_i \leftarrow L_i+\lambda L_j\).
Exemplo 1 — Sistema já escalonado (4 incógnitas)
\(\begin{cases} 2x-y+5z+2w=4\\ 3y+8z-2w=1\\ -z-4w=0\\ 2w=-1 \end{cases}\)
Resolver por retrosubstituição
Da última: \(w=-\tfrac{1}{2}\). Na terceira: \(-z-4(-\tfrac{1}{2})=0\Rightarrow -z+2=0\Rightarrow z=2\).
Na segunda: \(3y+8(2)-2(-\tfrac{1}{2})=1\Rightarrow 3y+16+1=1\Rightarrow 3y=-16\Rightarrow y=-\tfrac{16}{3}\).
Na primeira: \(2x-(-\tfrac{16}{3})+5\cdot2+2(-\tfrac{1}{2})=4\Rightarrow 2x+\tfrac{16}{3}+10-1=4\Rightarrow 2x=-\tfrac{31}{3}\Rightarrow x=-\tfrac{31}{6}\).
Solução: \(\left(-\dfrac{31}{6},-\dfrac{16}{3},2,-\dfrac{1}{2}\right)\).
Exemplo 2 — Escalonamento por Gauss (3×3)
\(\begin{cases} x+y+z=6\\ 2x+3y+z=10\\ -x+2y+3z=5 \end{cases}\)
Passo a passo
Matriz aumentada \(\left[\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&3&1&10\\-1&2&3&5\end{array}\right]\).
\(L_2\leftarrow L_2-2L_1\Rightarrow[0,1,-1|-2]\);\; \(L_3\leftarrow L_3+L_1\Rightarrow[0,3,4|11]\).
\(L_3\leftarrow L_3-3L_2\Rightarrow[0,0,7|17]\) (escalonado).
Retrosubstituição: \(z=\tfrac{17}{7}\), \(y=-2+z=\tfrac{3}{7}\), \(x=6-y-z=\tfrac{22}{7}\).
Solução: \(\left(\dfrac{22}{7},\dfrac{3}{7},\dfrac{17}{7}\right)\).
Exemplo 3 — Escalonado incompatível (SI)
\(\begin{cases} x+y-z=1\\ \phantom{x}+y-2z=0\\ \phantom{x\;+\;y\;-\;z}\quad 0=1 \end{cases}\)
Diagnóstico
A última linha é contradição \((0=1)\Rightarrow r\neq r^*\Rightarrow\) sistema impossível (SI).
Exercícios (com soluções)
Exercício 1: O sistema abaixo está escalonado? Resolva-o. \(\;\begin{cases} 2x-y+z=0\\ \phantom{2x}+3y-2z=5\\ \phantom{2x+y}+7z=-14 \end{cases}\)
Mostrar solução
Sim. Retrosubstituição: \(z=-2\). Em \(3y-2(-2)=5\Rightarrow3y+4=5\Rightarrow y=\tfrac{1}{3}\). Em \(2x-\tfrac{1}{3}-2=0\Rightarrow 2x=\tfrac{7}{3}\Rightarrow x=\tfrac{7}{6}\).
Exercício 2: Escalone e resolva: \(\begin{cases} x+2y+z=4\\ 2x+y+3z=7\\ 3x+5y+4z=12 \end{cases}\)
Passo a passo
\(L_2\leftarrow L_2-2L_1\Rightarrow[0,-3,1|-1]\);\; \(L_3\leftarrow L_3-3L_1\Rightarrow[0,-1,1|0]\).
Troque \(L_2\leftrightarrow L_3\Rightarrow[0,-1,1|0]\) e \(L_3=[0,-3,1|-1]\).
\(L_3\leftarrow L_3-3L_2\Rightarrow[0,0,-2|-1]\).
Retrosubstituição: \(z=\tfrac{1}{2}\), \(y=\tfrac{1}{2}\), \(x=\tfrac{5}{2}\).
Exercício 3: Dada a matriz aumentada já escalonada \(\left[\begin{array}{ccc|c}1&2&1&3\\0&1&-1&0\\0&0&0&5\end{array}\right]\), classifique o sistema.
Mostrar solução
Última linha: \(0=5\) (contradição) \(\Rightarrow r\neq r^*\Rightarrow\) SI (sem solução).
Exercício 4: Para a matriz escalonada \(\left[\begin{array}{ccc|c}1&0&2&5\\0&1&-1&1\\0&0&0&0\end{array}\right]\), descreva o conjunto solução.
Mostrar solução
\(n=3,\; r=2 \Rightarrow\) SPI com uma variável livre \(z=t\).
\(x=5-2t,\; y=1+t,\; z=t\Rightarrow (x,y,z)=(5,1,0)+t(-2,1,1)\).
Exercício 5: Resolva por Gauss e indique se o sistema é SPD, SI ou SPI: \(\begin{cases}2x+4y=8\\ x-y=1\end{cases}\)
Mostrar solução
Matriz \(\left[\begin{array}{cc|c}2&4&8\\1&-1&1\end{array}\right]\). Troque as linhas: \([1,-1|1;\;2,4|8]\). \(L_2\leftarrow L_2-2L_1\Rightarrow[0,6|6]\Rightarrow y=1\). De \(x-y=1\Rightarrow x=2\). SPD com \((2,1)\).
Conclusão
Colocar um sistema em forma escalonada organiza os cálculos, revela o posto e permite classificar rapidamente (SPD, SI, SPI). A eliminação de Gauss é o caminho universal para escalar sistemas de qualquer tamanho e resolver por retrosubstituição. Para manter as fórmulas e passos sempre à mão, use o eBook Fórmulas Matemática.
