Estudo do sinal de uma função

O que é “sinal” de uma função?

Para uma função \(f\), dizemos que:

• \(f(x)>0\) (positiva) quando os pontos do gráfico estão acima do eixo \(x\);
• \(f(x)<0\) (negativa) quando estão abaixo do eixo \(x\);
• \(f(x)=0\) (nula) nos zeros ou raízes da função (interseções com o eixo \(x\)).

Estudar o sinal é base para resolver desigualdades como \(f(x)\ge0\), \(f(x)<0\), etc. Veja também: Zero de uma função, Gráfico de uma Função e Domínio e Imagem.

Procedimento geral (quadro de sinais)

1. Domínio — determine onde \(f\) está definida.
2. Zeros/pontos críticos — resolva \(f(x)=0\) (e, se racional, anote também onde o denominador zera).
3. Ordene os pontos na reta real: \(x_1
4. Teste intervalos (um ponto em cada intervalo) ou use as regras de multiplicidade:
   • Raiz de multiplicidade ímpar (fator \((x-a)^m\) com \(m\) ímpar) troca o sinal ao passar por \(x=a\).
   • Raiz de multiplicidade par não troca o sinal.
   • Em racionais, zeros do numerador e polos (zeros do denominador) também podem trocar o sinal conforme as multiplicidades.
5. Monte o quadro e conclua onde \(f(x)\gtrless 0\). Inclua ou exclua os pontos conforme \(\ge,\le,>,<\).

Exemplos resolvidos

1) Função afim

\(f(x)=2x+4\). Zero em \(2x+4=0\Rightarrow x=-2\).

Sinal: para \(x<-2\), \(f(x)<0\); para \(x>-2\), \(f(x)>0\). Logo: \[ f(x)\ge0 \iff x\ge -2,\qquad f(x)<0 \iff x<-2. \]

2) Quadrática simples

\(g(x)=x^2-\dfrac{1}{9}\). Zeros: \(x=\pm\dfrac{1}{3}\).

Como a concavidade é para cima, \(g(x)<0\) entre as raízes e \(>0\) fora: \[ g(x)<0 \iff -\tfrac13

3) Multiplicidade

\(h(x)=(x-1)^2(x+2)\). Raízes: \(x=1\) (multiplicidade 2) e \(x=-2\) (multiplicidade 1).

O sinal troca em \(x=-2\) e não troca em \(x=1\). Se testar \(x\to+\infty\), \(h(x)>0\). Caminhando para a esquerda:
\((1,+\infty)\): \(+\) → ao passar por \(1\) (par) mantém \(+\).
\((-2,1)\): \(+\) → ao passar por \(-2\) (ímpar) inverte para \( – \).
\((-\infty,-2)\): \( – \).

4) Função racional

\(r(x)=\dfrac{(x-1)(x+2)}{x-3}\). Domínio: \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\). Pontos: zeros \(x=1,-2\); pólo \(x=3\).

Organizando: \(-\infty < -2 < 1 < 3 < +\infty\). Tomando um ponto por intervalo ou multiplicidades:

• \((-\infty,-2)\): \(r(-3)=\dfrac{(-)(-)}{(-)}=\dfrac{+}{-}=-\).
• \((-2,1)\): \(r(0)=\dfrac{(-)(+)}{(-)}=\dfrac{-}{-}=+\).
• \((1,3)\): \(r(2)=\dfrac{(+)(+)}{(-)}=-\).
• \((3,\infty)\): \(r(4)=\dfrac{(+)(+)}{(+)}=+\).

Quadro-resumo rápido

Links internos e materiais do blog

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