Função do Segundo Grau (Quadrática): guia completo com exemplos e exercícios

Conteúdo didático e otimizado para quem busca equações do 2º grau, “matemática básica”, “operações com números inteiros”, “regras de sinais” e “multiplicação e divisão com sinais”.

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1) O que é a Função do Segundo Grau?

A função quadrática tem a forma $ f(x)=ax^2+bx+c $ com $ a\neq 0 $. Seu gráfico é uma parábola. Dependendo do sinal de a, a concavidade aponta para cima ($a>0$) ou para baixo ($a<0$).

Bhaskara (raízes)
$$ x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} $$ Discriminante: $ \Delta=b^2-4ac $
Soma e produto das raízes: $ x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} $ e $ x_1\cdot x_2=\dfrac{c}{a} $

Vértice: $ V(x_v,y_v) $ com $ x_v=-\dfrac{b}{2a} $ e $ y_v=f(x_v) $.

Natureza das raízes (pela análise do Δ):

$ \Delta>0 $: duas raízes reais distintas.
$ \Delta=0 $: uma raiz real dupla.
$ \Delta<0 $: não há raízes reais (raízes complexas).

Interseções:

Com o eixo y: $ (0,c) $.
Com o eixo x: nos pontos $ (x_1,0) $ e $ (x_2,0) $ quando $ \Delta\ge 0 $.

Função do Segundo Grau: fórmulas, raízes e discriminante Δ

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2) Regras de sinais e manipulações úteis

Para evitar erros ao somar e subtrair coeficientes e ao abrir a raiz, lembre-se das regras de sinais em operações com números inteiros. Esse “jogo de sinais” afeta $ \Delta $ e o vértice.

Produto: sinais iguais → positivo; sinais diferentes → negativo.
Soma/Subtração: mantenha o maior módulo e o sinal do maior em valor absoluto.

3) Exemplos resolvidos (linha a linha)

Exemplo 1 — Raízes por Bhaskara

Problema. Encontre as raízes de $ f(x)=x^2-5x+6 $.

👀 Solução passo a passo

a = 1, b = -5, c = 6 Δ = b² – 4ac = (-5)² – 4·1·6 = 25 – 24 = 1x₁ = (-b + √Δ) / (2a) = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3x₂ = (-b – √Δ) / (2a) = (5 – 1) / 2 = 4 / 2 = 2Resposta: x₁=3 e x₂=2.

Exemplo 2 — Vértice e concavidade

Problema. Para $ g(x)=-2x^2+4x+1 $, determine o vértice e a concavidade.

👀 Solução passo a passo

a = -2, b = 4, c = 1 x_v = -b / (2a) = -4 / (2·(-2)) = -4 / (-4) = 1y_v = g(1) = -2·(1)² + 4·(1) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3Concavidade: a < 0 = para baixoResposta: V(1, 3).

Exemplo 3 — Soma e produto sem Bhaskara

Problema. Em $ h(x)=2x^2-3x-5 $, calcule $ x_1+x_2 $ e $ x_1\cdot x_2 $.

👀 Solução passo a passo

a = 2, b = -3, c = -5 x₁ + x₂ = -b/a = -(-3)/2 = 3/2x₁ · x₂ = c/a = (-5)/2 = -5/2

Exemplo 4 — Modelagem (problema textual)

Problema. A área de um retângulo é $ 48\,\text{m}^2 $. O lado maior mede $ x+4 $ m e o menor $ x-2 $ m. Encontre $ x $.

👀 Solução passo a passo

(x + 4)(x – 2) = 48 x² + 4x – 2x – 8 = 48 x² + 2x – 8 = 48 x² + 2x – 56 = 0a = 1, b = 2, c = -56 Δ = b² – 4ac = 2² – 4·1·(-56) = 4 + 224 = 228x = (-b ± √Δ) / (2a) = (-2 ± √228) / 2 = (-2 ± 2√57) / 2 = -1 ± √57Como medida deve ser positiva: x = -1 + √57 (≈ 6,55)

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4) Exercícios propostos (com soluções em abre/fecha)

Discursivos

Exercício 1 — Classificação pelas raízes

Sem Bhaskara, classifique as raízes de $ f(x)=3x^2+6x+4 $ como reais distintas, reais iguais ou não reais.

👀 Ver solução

Δ = b² – 4ac = 6² – 4·3·4 = 36 – 48 = -12Δ < 0 → não há raízes reais (raízes complexas).

Exercício 2 — Vértice e eixo de simetria

Encontre o vértice e o eixo de simetria de $ y=x^2-8x+5 $.

👀 Ver solução

a = 1, b = -8, c = 5 x_v = -b / (2a) = 8 / 2 = 4y_v = f(4) = 4² – 8·4 + 5 = 16 – 32 + 5 = -11Vértice: V(4, -11) Eixo de simetria: x = 4

Exercício 3 — Construa a função pelas raízes

Dadas as raízes $ x_1=2 $ e $ x_2=-3 $, construa uma função quadrática com $ a=2 $.

👀 Ver solução

f(x) = a(x – 2)(x + 3) = 2(x² + 3x – 2x – 6) = 2(x² + x – 6) = 2x² + 2x – 12

Múltipla escolha

Exercício 4 — Raiz dupla

Para qual função o discriminante é zero?

$ x^2-6x+9 $
$ x^2-5x+6 $
$ 2x^2+x+5 $
$ x^2+4x+1 $

👀 Ver solução

Δ = (-6)² – 4·1·9 = 36 – 36 = 0 → raiz dupla (x = 3)Resposta: Alternativa A.

Exercício 5 — Interseção com o eixo y

A ordenada do ponto em que $ y=2x^2-3x-4 $ intercepta o eixo y é:

$ -4 $
$ 2 $
$ 3 $
$ 4 $

👀 Ver solução

y = f(0) = 2·0² – 3·0 – 4 = 0 – 0 – 4 = -4Resposta: A.

Exercício 6 — Eixo de simetria

O eixo de simetria da parábola $ y=-x^2+6x-1 $ é:

$ x=3 $
$ x=-3 $
$ x=6 $
$ x=1 $

👀 Ver solução

x_v = -b / (2a) = -6 / (2·(-1)) = -6 / (-2) = 3Resposta: A.

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5) Dicas finais e checklist rápido

Confirme a, b, c antes de calcular $ \Delta $.
Use o jogo de sinais com atenção nas operações com inteiros.
Se $ \Delta $ não for quadrado perfeito, simplifique $ \sqrt{\Delta} $ quando possível.
Para gráficos: identifique concavidade, vértice e interceptos.

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